Краткие теоретические сведения.

Если функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и f ′( x )> 0 при всех x ∈(a, b), то функция f (x) возрастает на (a, b); если же f ′(x)<0 при всех x ∈(a, b) то f (x) убывает на этом интервале.

В простейших случаях область определения функции y = f (x) можно разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый из интервалов монотонности ограничен критическими точками в которых f′(x)=0 или f′(x) не существует.

Если существует такая окрестность U 0(x ₀) точки x ₀, что для всякой точки x ≠ x ₀ этой окрестности выполняется неравенство f (x)> f (x ₀) (или f (x)< f (x ₀)) то точка x ₀ называется точкой минимума (максимума) функции y = f (x), а число f (x ₀) - минимумом (максимумом) этой функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если x ₀− точка экстремума функции f (x), то f ′(x ₀)=0 или f ′(x ₀) не существует т.е. x ₀ критическая точка этой функции.

Достаточные условия экстремума непрерывной функции.

1) Пусть функция f (x) дифференцируема в некоторой окрестности (x ₀− δ, x ₀+ δ) критической точки x ₀, за исключением, быть может, самой этой точки. Если при этом в интервалах (x ₀− δ, x ₀) и (x ₀, x ₀+ δ) производная f ′(x) имеет противоположные знаки, то x ₀− точка экстремума, причем, если f ′(x)>0 при x ∈(x ₀− δ, x ₀) и f ′(x)<0 при x ∈(x ₀, x ₀+ δ), то x ₀− точка максимума, а если f ′(x)<0 при x ∈(x ₀− δ, x ₀) и f ′(x)>0 при x ∈(x ₀, x ₀+ δ), то x ₀− точка минимума. Если же f ′(x) при x ∈(x ₀− δ, x ₀+ δ), x ≠ x ₀, сохраняет знак, то точка x ₀ не является точкой экстремума.

2) Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в критической точке x ₀ и в некоторой ее окрестности. Если f ′′(x ₀)<0, то x ₀− точка максимума функции f (x), если f ′′(x ₀)>0, то x ₀ точка минимума. Если же f ′′(x ₀)=0, то требуются дополнительные исследования.

Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции f (x) на данном отрезке [ a, b ] достигается или в критических точках или на концах отрезка.

Если функция в интервале имеет положительную (отрицательную) вторую производную, то кривая на этом интервале вогнута (выпукла).

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f на отрезке [a, b], непрерывной на нем:

1) вычислить производную функции f;

2) найти все критические точки x₁, x₂,…, x_m функции f; принадлежащие интервалу (a, b);

3) найти значения функции f на концах отрезка [a, b] и в найденных выше критических точках.

2. Методические рекомендации по решению упражнений и задач.

Пример 1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: . Решение: Найдем первую производную функции . 

Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение

 Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

		0		2
	+	0	-	0	+
		т. max 0		т. min -4

Ответ: Функция возрастает при ; функция убывает при ; точка минимума функции ; точка максимума функции .

Пример 2:

Пример 3: Провести полное исследование функции и построить ее график

Решение:

1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения

2) Выясним, является ли функция четной или нечетной: .

Отсюда следует, что функция является нечетной, т.е. график симметричен относительно начала координат.

3) Найдем точки пересечения с осями координат:

- с осью ОХ: решим уравнение
.
Точки пересечения с осью ОХ

- с осью ОY:
Точка пересечения с осью ОY

4) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.

5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: .

Критические точки: .

		-1		1
	+	0	-	0	+
		т. max 2		т. min -2

6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

Критические точки: .

		0
	-	0	+
		точка перегиба 0

 

7) По результатам исследования построим график функции:

Пример 3: Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

Решение:

Пусть r – радиус основания цилиндра, h – высота. Нам нужно максимизировать объем цилиндра . Используя условие задачи, найдем связь между r и h. По теореме Пифагора из треугольника ABC следует, что . Отсюда .

, по смыслу задачи 0≤ h ≤2 R. .

Покажем, что при найденном значении h функция V принимает наибольшее значение.

Пример 3: Докажите что функция f(x)=-3x+sinx убывает на всей числовой оси.  

Решение: Найдем производную (для нахождения критических точек) 

f´(x)=(-3x+sinx)´= -3(x)´+(sinx)´=-3+cosх Найдем критические точки -3+cosх=0 cosх=3 Т. к. -1≤ cosх≤1, следовательно, данное уравнение решений не имеет, значит на всей числовой оси производная функции f(x)=-3x+sinx либо положительная, либо отрицательная. Определим знак производной, для этого возьмем любую точку и определим знак производной, получим f´(0)= -3+cos 0=-3+1=-2<0. Т. к. производная функции на всей числовой оси меньше нуля, т. е. f´(х) <0, следовательно, функция f(x)=-3x+sinx убывает на всей числовой оси.

3. Задания самостоятельной работы.

              1 вариант                                           2 вариант

1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: y=x^3-3x+5 2. Найдите критические точки функции . Определите, какие из них являются точками максимума. 3. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке . 4. Докажите, что функция   возрастает на всей числовой оси. 5. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте график функции у= х^3 – 3х^2 + 4.

1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: y=3x^2-2x^3 2. Найдите критические точки функции . Определите, какие из них являются точками минимума. 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; –0,5]. 4. Найти число, которое превышало бы свой квадрат на максимальное значение. 5. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x^4 -2x^2 – 6

6. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте правила дифференцирования.

2. Какие точки называются критическими?

3. Сформулируйте достаточныеусловия возрастания и убывания функции.

4. Сформулируйте необходимое условие экстремума.

5. Сформулируйте достаточныеусловия экстремума непрерывной функции.

6. Сформулируйте алгоритм исследования функции на наибольшее и наименьшее значения.

 

Практическое занятие № 2