Тема 1 6 . Дифференциальное и интегральное исчисление

Учебные вопросы:

История возникновения дифференциального и интегрального исчисления. Понятие производной. Дифференциал функции. Первообразная. Понятие интеграла. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Несобственный интеграл.

Рекомендуемая литература:

1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. –3-е изд. –М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.– 479 с.

2.М.Я. Выгодский Справочник по высшей математике. -4-е изд. –М.: ВЕК Большая медведица, 1997 – 863 с.

История возникновения дифференциального и интегрального исчисления

Дифференциальное и интегральное исчисление составляет основу математического анализа. Интегральное исчисление – раздел математики, занимающийся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления.

Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, представляющего набор правил для вычисления площадей и объёмов и разработанного математиками Древней Греции. Разработка метода исчерпывания приписывается Евдоксу Книдскому. Дальнейшее развитие метод получил в работах Евклида, а особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания славился Архимед. Кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих научных достижений. О методе исчерпывания вспомнили лишь в XVII веке.

В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер праздновал свадьбу. Готовясь к ней, он приобрёл несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражён тем, что продавец определял вместимость бочки, производя одно единственное действие – измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища. Ведь такое измерение совершенно не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшая математическая задача – по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над этой задачей, он нашёл формулы не только для объёма бочек, но и для объёма самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроумные методы, что было крайне неудобно. Попытка найти достаточно общие, а, главное, простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современного интегрального счисления.

В конце XVII и в XVIII веке все возрастающие запросы практики и других наук побуждали ученых максимально расширять область и методы исследований математики. Понятия бесконечности, движения и функциональной зависимости выдвигаются на первое место, становятся основой новых методов математики. В это же время получили развитие теории дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и аналитической механики.

Основоположниками дифференциального и интегрального исчисления являются Исаак Ньютон (1643–1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716), работавшие независимо друг от друга. Оба они пришли к одной и той же вычислительной задаче, которая легла в основу дифференциального исчисления.

Понятие производной

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y = f (x) получать новую функцию, представляющую скорость изменения функции f (х) относительно изменения аргумента x, которую называют производной данной функции f (x) и обозначают символом: f ’(x).

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f (x) получают новую функцию f’ (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов:

1) даем аргументу x приращение D x и определяем соответствующее приращение функции D y = f (x+ D x) - f (x);

2) составляем отношение:

. (1)

3) считая x постоянным, а D x стремящимся к нулю, находим

, 

который обозначаем через f ' (x).

Производная есть функция, определяемая для каждого х как предел (если он существует) отношения приращения функции к соответствующему бесконечно малому приращению аргумента:

. (2)

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение:

при стремлении D x к нулю не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

Геометрический смысл производной. Если изобразить на рисунке график функции f (x), то величина отношения (1) равна тангенсу угла наклона секущей графика к его оси абсцисс. Если D x стремится к нулю, то точка P стремится к точке М и секущая МР стремится занять положение касательной к f (x)в точке М. Следовательно, значение производной f’ (x)в любой точке х области определения функции равно тангенсу наклона касательной к графику y= f (x) к оси абсцисс в точке с координатами х и f (x). Уравнение касательной в точке М (х ₀, y ₀) имеет вид:

Механический смысл производной. Если пройденный путь есть известная функция s= f (t), то ее производная f’ (t) равна мгновенной скорости движения. Взяв производную по времени от функции f’ (t), получим скорость изменения скорости (т.е. ускорение), которое обозначается f’’ (t) и является второй производной функции пути f (t).

Пример 1. По определению производной найти f (x) функции f (x)= x ². Найти уравнение касательной к данной функции в точке (2;4).

Решение.