Аксиоматическое определение системы рациональных чисел

Определение. Множество  называется системой рациональных чисел, если выполняются следующие аксиомы:

1) Q – поле;

2) ;

3) cвойства Z сохраняются в Q;

4) Q с аксиомами 1, 2, 3 минимально.

Теорема 1. (характеристическое свойство системы рациональных чисел).

Для того чтобы множество  было минимальным, то есть было системой рациональных чисел, необходимо и достаточно, чтобы любое  представлялось в виде отношения двух целых чисел со знаменателем, отличным от нуля.

Доказательство аналогично доказательству характеристического свойства системы целых чисел.

Категоричность системы аксиом,

Определяющих систему рациональных чисел

Теорема 2. Любые две модели системы рациональных чисел, если они существуют, изоморфны.

Доказательство аналогично доказательству характеристического свойства системы целых чисел.

Для доказательства непротиворечивости этой системы аксиом построим ее модель.

Пары второй ступени и их свойства

Определение. Парами второй ступени назовем упорядоченные пары целых чисел, для которых выполняются следующие основные соотношения:

1)

2) ~

3)

4)

Обозначим через М – множество пар второй ступени.

Теорема 3. Сложение и умножение пар второй ступени коммутативны и ассоциативны.

Теорема 4. Во множестве пар второй ступени дистрибутивный закон умножения относительно сложения не выполняется.

Значит, М не является моделью системы рациональных чисел.

Теорема 5. Понятие эквивалентности пар второй ступени является бинарным отношением эквивалентности на множестве пар второй ступени.

Модель системы рациональных чисел.

 Отношение эквивалентности на множестве  разбивает множество М на непересекающиеся классы эквивалентных пар второй ступени, причем их объединение равно множеству М. Все пары одного класса эквивалентны между собой, пары различных классов – неэквивалентны.

                 …           …

…

…

  Определение. Рациональным числом называется символ класса эквивалентных пар второй ступени.

Записываем , , …, читаем   определяется парой ,  определяется парой , ….

Рассмотрим множество рациональных чисел .

Введем основные соотношения: если ,  то

1)

2) ;

3) .

Можно показать, что на множестве

выполняются аксиомы 1-4 аксиоматического определения системы рациональных чисел.

Свойства рациональных чисел

 или

Определение. Рациональное число  называется положительным, если целое число  положительно.

Свойство 1. Поле Q – расположенное поле.

Следствие. Поле Q упорядоченное поле.

Для доказательства достаточно определить понятие «больше» (>).

Определение. Пусть  Будем считать , если число  положительное.

Свойство 2. Q – архимедовски расположенное поле.

Свойство 3. Q – всюду плотное множество: между любыми двумя неравными рациональными числами существует рациональное число.