Вимірювання відстаней у просторі.

Нехай задані в просторі пряма а і точка А, що не лежить на даній прямій

Відстанню від точки А до прямої а називаєть­ся довжина перпендикуляра, опущеного з точки А на пряму а. На рис. 200 ОА — відстань від точки А до прямої а.

Задача  З точки М опустити перпендикуляр на пряму АВ

 

а) МС (АВС), АС = ВС;       б) МС (АВС), <BAC = 90°.

в) МО (АВС), АО = ОС, <ABC = 90°; г) ABCD — квадрат, MC (ABC).             

Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра. Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, які проходять через ці прямі.

Відстанню від точки до площини називається довжина пер­пендикуляра, опущеного з цієї точки на площину.

Відстанню між двома паралельними площинами є довжина їх спільного перпендикуляра

2. Поняття двогранного кута та його елементів, лінійного кута двогранного кута

Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами із спільною прямою, що їх обмежує. Півплощини називаються гранями, а пряма, що їх обмежує – ребром двогранного кута.

На рис. 1 зображено двогранний кут з ребром АВ та гранями α і β.

 

Лінійним кутом двогранного кута називається кут, утворений в результаті перетину двогранного кута з площиною, яка перпендикулярна до ребра двогранного кута.

 

На рис. 2 площина γ с, φ – лінійний кут двогранного кута.

Мірою двогранного кута називається міра відповідного йому лінійного кута.

Для даного двогранного кута можна побудувати безліч лінійних кутів, проте всі лінійні кути двогранного кута суміщаються в результаті паралельного перенесення, а отже, вони рівні. Тому міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута.

Якщо φ – лінійний кут двогранного кута, то 0º  φ  180º

Рис. 4

Бісекторною площиною двогранного кута називається площина, що проходить через ребро двогранного кута і поділяє його на два рівних двогранних кути (рис. 4).

Властивість точок бісекторної площини. Кожна точка бісек­торної площини рівновіддалена від граней двогранного кута. Обернене твердження: якщо точка рівновіддалена від граней двогранного кута, то вона належить його бісекторній площині.

Способи побудови лінійного кута двогранного кута

Доцільно розглянути наступні задачі на доведення.

Задача 1

На ребрі двогранного кута вибрана точка і через неї в гранях двогранного кута проведено два промені, перпендикулярні до ребра. Доведіть, що кут утворений цими променями, буде лінійним кутом двогранного кута.

Розв’язання

Нехай на ребрі двогранного кута вибрано точку А, А α (рис. 7) і проведено промені АС і АВ, АВ α, АС β, АВ α, АС а. Промені АВ і АС визначають площину γ, яка буде перпендикулярна до ребра а (згідно з ознакою перпендикулярності прямої і площини), тому <ВАС – лінійний кут двогранного кута з ребром а і гранями α і β.

Задача 2

В одній із граней двогранного кута вибрано точку А і з неї опущено перпендикуляр АВ до площини другої грані і перпендикуляр АС на ребро кута. Доведіть, що кут АСВ (або суміжний з ним) буде лінійним кутом двогранного кута.

Розв’язання

Враховуючи, що АВ α (рис. 8), АС а, то, згідно з теоремою про три перпендикуляри, ВС а.

Оскільки АС а, ВС а, то площина γ, яка визначається прямими АС і ВС, які перетинаються, буде перпендикулярна до ребра а двогранного кута, і тому <АСВ (або суміжний з ним) буде лінійним кутом двогранного кута з ребром а та гранями α і β.

Задача 3*

Через точку провели перпендикуляри до граней гострого двогранного кута. Доведіть, що гострий кут між ними дорівнює лінійному куту двогранного кута.

Розв’язання

Нехай дано двогранний кут з ребром а і гранями α і β (рис. 9). Проведемо через точку S SB α, SA β. Прямі SA і SB визначають площину, яка буде перпендикулярна як до площини α, так і до площини β, тобто ця площина буде перпендикулярна до а, і кут АСВ буде лінійним кутом даного двогранного кута.

SOA СОВ (оскільки <СОВ = <SOA – як вертикальні,

<СВО = <SAО = = 90º); отже, <ОSA = <OCA.

Задача 4*

Доведіть, що синус кута, утвореного прямою, яка лежить у площині однієї із граней двогранного кута, з іншою гранню, дорівнює добутку синуса двогранного кута на синус кута, який утворює дана пряма з ребром двогранного кута (теорема про три синуси).

Розв’язання

Нехай дано двогранний кут із гранями φ і ω, АС ω, <ABC = α – лінійний кут, <ADC = γ, <ADB = β (рис. 10). Доведемо, що sinγ = sinαsinβ. Нехай AD = x, тоді ΔADB AB = x sinβ; із ΔABC AC = ABsinα = x sinβsinα; із ΔADC

.

Отже, маємо: sinγ = sinαsinβ.

 

 

 

1. Побудуйте лінійний кут двогранного кута з ребром АС, якщо:

а) АВ = ВС, РВ (АВС) (рис. 11);

б) ΔАВС – правильний, точка О – точка перетину медіан, РО (АВС) (рис. 12);

в) ΔАВС —правильний, ВО = ОА, РО  (АВС) (рис. 13).

                                   

2. На грані двогранного кута, величина якого α, дано точку, яка від­далена від ребра на відстань а. Знайдіть відстань від цієї точки до другої грані. (Відповідь. α sinα.)

3. Точка А належить одній із граней двогранного кута, а її відстань від дру­гої грані дорівнює см. Знайдіть величину двогранного кута, якщо від­стань від точки А до його ребра дорівнює 2 см. (Відповідь. 60°.)

4. Знайдіть величину двогранного кута, якщо точка, взята на одній із граней, знаходиться від ребра вдвічі далі, ніж від другої грані. (Від­повідь. 30°.)

5. Знайдіть величину двогранного кута, якщо точка, взята на одній із граней, знаходиться від ребра втричі, далі, ніж від другої грані.               

(Відповідь. arcsin .)

6. Точка А знаходиться від граней прямого двогранного кута на від­станях а і b. Знайдіть відстань від точки А до ребра двогранного кута.

(Відповідь. .)

7. На гранях двогранного кута взято дві точки, які знаходяться від його ребра на відстанях а і b. Перша з них знаходиться від другої Грані на відстані с. Знайдіть відстань від другої точки до протилежної грані. (Відповідь. .)

8. Дано два двогранні кути, у яких одна грань спільна, а дві інші грані є різними півплощинами однієї площини. Доведіть, що сума цих двогранних кутів дорівнює 180°.