Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План.

1. Похідна другого порядку.

2. Механічний зміст похідної другого порядку.

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1.Поточний:

· перевірка конспектів

· письмове  опитування

·  розв’язування задач.

2.Підсумковий:

· тематична контрольна робота

·  державна підсумкова атестація

Лекційний матеріал до теми

  Нехай у = f (x) — деяка диференційовна функція на інтервалі І, причому похідна цієї функції у ¢ = f ¢ (x) також є диференційовною функцією на зазначеному інтервалі.  Похідна функції f ¢(x) називається похідною другого порядку функції f і позначається f ¢¢ або f ⁽²⁾   або .  Якщо f ⁽²⁾ диференційовна на інтервалі І, то похідна функції f ⁽²⁾ називається похідною третього порядку функції f (х) і позначається f ^(2).

     

Приклад 1.  Для функції f (x) = х ⁴ + 2 х ³ + х + 5 знайти похідну другого порядку.

Розв’язання.

  f ¢(x) = 4 х ³ + 6 х ² + 1,       f ²(x) = 12 х ² + 12

Приклад2. Знайти похідну другого порядку для функції .

Розв’язання.

.

 

Механічним змістом похідної другого порядку є прискорення руху матеріальної точки.

Прикла 3. Знайти швидкість та прискорення руху матеріальної точки в момент t = 2 с, яка рухається за законом: s (t) = 2t³ — 3t

Розв’язання.

s (t) = 2 t ³ — 3 t. Як відомо механічним змістом похідної є миттєва швидкість руху матеріальної точки s ^/ (t)= (2 t ³ — 3 t)^/= або 21 .

Механічним змістом похідної другого порядку є прискорення руху матеріальної точки.

Тому a (t)= v ^/ (t)=( )^/=12 t або 24 .

 

№1. Знайти похідну другого порядку для функції:

а) f (x) = х ³ + 7 х ² - 4 х +1;       б)

№2. Знайти швидкість та прискорення руху матеріальної точки в момент t, яка рухається за законом:

а) s(t) = t³ —t +1, t=1c;      б) s(t) = t —t² + , t=3c

П.2. Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної

Література:

1 Є.П.Нелін, О.Є.Долгова Алгебра і початки аналізу. Дворівневий підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів (Харків. Світ дитинства. 2006)

2. О.М.Роганін. Плани-конспекти уроків

3.М.І. Шкіль, З.І.Слєпкань. Алгебра і початки аналізу.11

Методичні вказівки:

Точка x ₀ називається точкою мінімуму функції f, якщо для всіх x з деякого околу x ₀ виконується нерівність  (рис. 1, а, б).

Точка x ₀ називається точкою максимуму функції f, якщо для всіх x з деякого околу x ₀ виконується нерівність  (рис. 2, а, б).

 

 

Для точок максимуму і мінімуму функції існує спільна назва — їх називають точками екстремуму. Значення функції в цих точках називають відповідно максимумами і мінімумами функції (спільна назва — екстремум функції). Точки максимуму позначають x _max, а точки мінімуму — x _min. Значення функції в цих точках позначаються відповідно y _max і y _min.

 

Студенти повинні вміти:

Досліджувати функцію на екстремум за допомогою другої похідної

Питання для самоконтролю:

1. Схема дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної.

2. В чому слабка сторона даної схеми?