Участка при достижении максимальной загрузки технологического оборудования

Постановка задачи. Имеется m – станков (m – групп станков), на которых могут быть изготовлены n – типов деталей. Трудоемкость обработки j - ой детали на i – м станке составляет , час. Известны фонды времени работы каждого станка (группы станков) – B _i. Исходные данные для решения задачи представлены в таблице 14.

 

Таблица 14

Требуется определить количество деталей каждого наименования , при обработке которых достигается максимальная загрузка оборудования участка.

Математическая модель для решения задачи:

Ограничения:

(39)

 

(40)

...

(41)

 

(42)

Управляемые параметры:

.

Целевая функция:

(43)

Задача решается методом линейного программирования. При этом следует иметь в виду следующее. Количество ограничений вида (39) - (41) в математической модели должно строго равняться количеству станков (групп станков) участка. При решении задачи с помощью компьютера количество станков (групп станков), а также типов деталей практически не ограничено и определяется только возможностями компьютера и соответствующей программы. При решении задачи вручную с применением графо-аналитического метода количество типов станков (групп станков) также не ограничено, но их увеличение естественным образом приведет к увеличению времени расчетов. Количество же типов деталей не должно превышать двух, т.к. в противном случае невозможно будет на плоскости выполнить необходимые графические построения.

Пример. Исходные данные для примера в таблице 15.

 

Таблица 15

Обозначим через количество деталей типа D₁, через количество деталей типа D₂.

Математическая модель для решения данной задачи запишется следующим образом:

Ограничения (по фонду времени работы оборудования):

(44)

 

(45)

 

(46)

 

(47)

 

(48)

Целевая функция (суммарное время работы всех групп оборудования):

(14.11)

Требуется найти значения и , удовлетворяющие заданным ограничениям (44) – (48) и обеспечивающие максимум целевой функции. Параметры и являются управляемыми параметрами в математической модели.

Решим задачу графо – аналитическим методом. Графическая иллюстрация решения задачи приведена на рис. 27.

Рис.27. Графическая иллюстрация решения задачи

Вычисления для построения ограничений (44) – (46):

x 1
x2

x 1
x2

x 1
x 2

Направления допустимости ограничений (44) – (46) – «вниз – влево».

Ограничения (47) и (48) – это оси координат. Направления их допустимости – «вправо» и «вверх».

Для нахождения точки касания границы ОДР прямой линией, определяющей целевую функцию, построим сначала произвольную прямую для целевой функции, приравняв ее выражение к произвольному числу в пределах масштаба построений, например к 1500:

x1
x2

Проведя прямую линию, параллельную данной, находим точку касания ее границы ОДР – это точка А. Для нахождения ее координат (точки пересечения ограничений 45 и 46) решаем следующую систему уравнений:

Т.е. окончательно

Максимальное значение целевой функции (максимальная загрузка оборудования участка) при оптимальных значениях искомых параметров составит:

 

Задача о минимальной загрузке оборудования

Эта и последующие задачи в данной лекции приводятся на уровне постановки задачи и формирования математической модели для ее решения. Все они решаются методами линейного программирования [1].

Имеется m станков, на которых могут быть изготовлены n типов деталей. Производительность i - го станка при изготовлении детали j - го типа составляет C_ij. Величины плановых заданий A_j на изготовление j - ой детали и ресурс времени B_i работы i - го станка приведены в таблице 16.

 

Таблица 16

Требуется, учитывая ресурсы времени работы каждого станка распределить задания между станками таким образом, чтобы общее время работы всех станков было минимальным.

Пусть t_ij - время изготовления j - ой детали i - м станком. Составим ограничения по ресурсу времени для каждого станка:

(49)

Условия выполнения плановых заданий имеют вид:

(50)

Решение поставленной задачи состоит в минимизации линейной целевой функции (суммарного времени)

(51)

при ограничениях (49), (50) и условии, что все переменные .

 

Задача об оптимальном распределении деталей

По станкам

Пусть некоторая машина состоит из различных видов деталей, которые мы пронумеруем числами . Имеется типов различных станков, причем количество станков - го типа равно . Детали могут быть изготовлены на станках разного типа. Производительность станка - го типа при изготовлении - ой детали составляет . После изготовления детали поступают на сборку. Требуется закрепить станки за деталями так, чтобы в единицу времени получать максимальное количество машин.

Пусть - количество станков - го типа, на которых можно изготовить - ю деталь. Очевидно, что количество станков - го типа, изготавливающих детали видов, не должно превышать заданное число :

(52)

Общее количество деталей - го вида, изготовленное на станках за единицу времени, составляет . В каждой машине имеется ровно одна деталь с номером , . Поэтому, для того чтобы не было изготовлено лишних и не было дефицитных деталей, должны выполняться условия комплектности:

(53)

Общее количество комплектов деталей, необходимых для сборки машины, равно общему количеству какой-либо одной детали, имеющей, например, номер 1. Поэтому решение задачи заключается в максимизации линейной функции

(54)

при ограничениях (52), (53) с дополнительным условием, что все переменные .

Найденные оптимальные значения этой задачи не обязательно целые числа. Например, означает, что на двух станках первого типа в течение единицы времени будут изготовлять деталь с номером 1, тогда как третий станок того же типа будет работать лишь половину указанного времени.