Аналитическая геометрия и элементы высшей алгебры

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Высшее учебное заведение должно в процессе обучения обеспечивать условия для формирования личности, обладающей высокой общей культурой, фундаментальной профессиональной подготовкой, готовностью самостоятельно осваивать новые знания и овладевать новой техникой и технологиями.

В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено прежде всего быстрым ростом вычислительной техники, благодаря которой все время существенно расширяются возможности успешного применения математики при решении конкретных задач.

Математика является фундаментальной дисциплиной. Ее преподавание предусматривает:

развитие логического и алгоритмического мышления;

овладение методами исследования и решения математических задач;

овладение основными численными методами математики и их простейшими реализациями на ЭВМ;

выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных (химических) задач.

Общий курс математики является фундаментом математического образования химика, имеющим важное значение для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, предусмотренных учебными планами различных специальностей.

Объем и содержание курса высшей математики определяются учебными планами и программой и не зависят от формы обучения (дневная, вечерняя, заочная), но методика изучения его при различных формах обучения различна.

Настоящее пособие предназначено для студентов 1 и 2 курсов дневного отделения химического факультета. Оно содержит программу курса «Высшая математика», планы лекционных и практических занятий, список литературы, примерные экзаменационные вопросы, указания по выполнению контрольных работ, контрольные задания по разделам: элементы векторной алгебры и аналитической геометрии; элементы линейной алгебры; производная и ее приложение; приложение дифференциального исчисления; неопределенные и определенные интегралы; дифференциальные уравнения; теория вероятностей и математическая статистика.

Свои замечания и пожелания можно присылать по адресу: 428015, г. Чебоксары, Московский пр., 15, математический факультет, кафедра алгебры и геометрии или по e-mail: [e-mail]

Программа

Курса

«Высшая математика»

Аналитическая геометрия и элементы высшей алгебры

Линейная и векторная алгебра

 

Определители второго и третьего порядков. Минор. Алгебраические дополнения. Свойства определителя. Определитель n – го порядка.

Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Число решений системы (исследование с помощью определителей). Метод Гаусса. Эквивалентные системы. Число решений системы (по методу Гаусса).

Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы и его вычисление. Теорема о базисном миноре (без доказательства). Теорема Кронекера – Капелли (без доказательства). Обратная матрица. Матричное уравнение. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Векторы. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Переход от векторных соотношений к координатным.

Деление отрезка в данном соотношении. Линейная зависимость векторов. Скалярное произведение векторов. Ориентация тройки векторов. Векторное и смешанное произведение векторов.

 

Аналитическая геометрия

 

Прямая на плоскости. Задачи на прямую. Геометрический смысл системы уравнений и системы неравенств с двумя переменными.

Окружность, эллипс, гипербола и парабола. Вывод канонических уравнений и исследование формы кривых. Директрисы кривых второго порядка.

Параллельный перенос и поворот осей координат на плоскости. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Плоскость и прямая в пространстве трех измерений. Формы записи уравнений. Задачи на прямую и плоскость в пространстве. Геометрический смысл системы линейных уравнений с тремя переменными и ее решения.

Поверхности второго порядка в пространстве трех измерений.

 

Комплексные числа. Многочлены

 

Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции с комплексными числами. Формула Эйлера.

Многочлены в комплексной области. Теорема Безу. Разложение многочлена. Условие тождественности двух многочленов.

 

Математический анализ

Теория пределов

 

Переменная величина. Функциональная зависимость. Способы задания функций. Классификация функций. Числовая последовательность. Предел последовательности.

Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности. Число е как предел последовательности. Теорема о представлении последовательности, имеющей предел. Основные свойства пределов.

Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.

Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые и использование их при вычислении пределов. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции. Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций.

 

Производная и ее приложения

 

Производная функции. Геометрический смысл производной. Правила дифференцирования. Свойства некоторых функций (логарифмической, показательной). Формулы дифференцирования. Производные высших порядков.

Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Свойства дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

Теоремы Лагранжа, Ролля, Коши. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций по формуле Тейлора. Правило Лопиталя – Бернулли.

Признаки постоянства возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции. Достаточные условия существования экстремума. Направления выпуклости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции.

Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функций. Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции.

Приближенное решение алгебраических уравнений. Отделение корней. Методы хорд, касательных, комбинированный.

 

Интегралы

 

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства интеграла. Таблица основных интегралов. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента. Методы интегрирования. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование некоторых иррациональных выражений с помощью подстановок.

Интегральная сумма. Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Несобственные интегралы.

Приложения определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла.

 

Функции нескольких переменных

 

Функции нескольких переменных: определение и геометрический смысл, частное и полное приращение, непрерывность, частные производные. Полное приращение и полный дифференциал. Производная сложной функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная неявной функции. Частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

Поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент. Свойства градиента.

Максимум и минимум функции нескольких переменных. Условный экстремум. Метод наименьших квадратов.

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.

Элементы теории поля

 

Двойной интеграл. Двукратный интеграл. Вычисление двойного интеграла путем сведения к двукратному.

Уравнения поверхностей в пространстве трех измерений. Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла. Двойной интеграл в полярных и криволинейных координатах.

Тройной интеграл в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла.

Криволинейные интегралы по длине дуги и координатам. Нахождение площади области и работы переменной силы. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Поверхностные интегралы по площади поверхности и координатам. Свойства и вычисление интегралов.

Гидромеханический смысл поверхностного интеграла второго рода. Формула Остроградского – Гаусса. Формула Стокса.

 

Дифференциальные уравнения

 

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общие определения. Задачи Коши. Общее и частное решения. Геометрический смысл уравнения и решений. Уравнения с разделяющимися переменными.

Однородные и приводящиеся к ним уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка, однородные и неоднородные. Основные свойства частных решений. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных. Метод подбора частного решения. Линейные уравнения высших порядков.

Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Решение систем методом исключения неизвестных. Приближенное решение дифференциальных уравнений методом Эйлера.

 

Ряды

 

Числовой ряд. Сумма ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Сравнение рядов с положительными членами.

Признаки сходимости Даламбера, Коши, интегральный. Знакочередующийся ряд. Абсолютная и условная сходимость.

Функциональные ряды. Признак равномерной сходимости. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Степенные ряды. Радиус сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры разложений. Применение рядов в приближенных вычислениях.

Ряды Фурье (для функций с периодом 2p и 2 l). Разложение четных и нечетных функций, непериодических функций.

Ряды Фурье в комплексной форме. Интеграл Фурье.

 

Теория вероятности

Случайные события

 

Случайные события. Вероятность события. Различные определения вероятности. Примеры непосредственного вычисления вероятности с основными формулами комбинаторики.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Повторение испытаний. Формулы Бернулли и Пуассона. Наивероятнейшее число наступления события в n – испытаниях. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Случайные величины

 

Случайные величины – дискретные и непрерывные. Закон распределения случайной величины. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий.

Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины. Нормальное распределение.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной и непрерывной случайной величины.

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Правило «трех сигм».

Элементы математической статистики. Выборочный метод. Оценка параметров по выборке. Доверительная вероятность. Доверительный интервал. Статистическая проверка гипотез. Математическая обработка результатов наблюдений.

 

Список рекомендуемой литературы

 

1. В. С. Шипачев. Высшая математика. М. 2001.

2. А. А. Гусак. Высшая математика. Т. 1, 2. Минск. 1983.

3. А. А. Гусак. Пособие к решению задач по высшей математике. Минск. 1973.

4. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа в 2-х частях. М. 1973.

5. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия.

6. Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. М. 1962.

7. В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. Краткий курс высшей математики. М. 1975.

8. Сборник задач по курсу высшей математике под ред. Г. И. Кручковича. М. 1973.

9. Руководство к решению задач по высшей математике в 2-х частях под ред. Е. И. Гурского. Минск. 1990.

10. П. Е. Данко, А. Г. Попов. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2-х частях. М. 1986.

11. М. Л. Краснов. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. 1978.

12. В. Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М. 1977.

13. В. Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. М. 1979.

14. М. Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. М. 1975.

15. Ю. С. Арутюнов, А. П. Полозков, Д. П. Полозков. Высшая математика: методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов – заочников инженерно – технических специальностей высших учебных заведений/ Под ред. Ю. С. Арутюнова. М.: Высшая школа. 1981.

 

Примерное планирование лекционного материала

 

Специальность – химия

I семестр (3 ч в неделю, всего 54 ч.)

 

Линейная и векторная алгебра (18 ч)

 

1 – 2. Определители второго и третьего порядков. Минор. Алгебраические дополнения. Свойства определителя.

3 – 4. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы и его вычисление.

5 – 6. Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Число решений системы (исследование с помощью определителей).

7 – 8. Матричное уравнение. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Обратная матрица. Метод Гаусса. Число решений системы (по методу Гаусса).

9 –10. Эквивалентные системы. Теорема о базисном миноре (без доказательства). Теорема Кронекера – Капелли (без доказательства). Исследование систем линейных уравнений.

11 – 12. Прямоугольная система координат. Понятие вектора. Проекция вектора на ось и на оси координат. Направляющие косинусы вектора.

13 – 14. Линейные операции над векторами и их свойства. Теоремы о проекциях векторов. Разложение вектора по базису.

15 – 16. Скалярное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты.

17 – 18. Ориентация тройки векторов. Векторное и смешанное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты. Геометрический смысл.

 

Элементы теории поля (24 ч)

 

1 – 2. Задачи, приводящие к двойным интегралам. Двойной интеграл.

3 – 4. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.

5 – 6. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Приложения двойного интеграла.

7 – 8. Тройной интеграл. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

9 –10. Приложения тройного интеграла.

11 – 12. Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла. Криволинейный интеграл первого рода.

13 – 14. Криволинейный интеграл второго рода. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

15 – 16. Приложения криволинейных интегралов. Формула Грина.

17 – 18. Задачи, приводящие к понятиям интегралов по поверхности. Понятия интегралов по поверхности.

19 – 20. Вычисление интегралов по поверхности. Приложения интегралов по поверхности.

21 – 22. Формула Стокса. Формула Остроградского.

23 – 24. Поток, расходимость, циркуляция, вихрь. Векторная формулировка теорем Остроградского и Стокса. Признак полного дифференциала.

 

Ряды (18 ч.)

 

25 – 26. Сходимость и расходимость числовых рядов. Необходимый признак сходимости ряда.

27 – 28. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак Даламбера. Признак Коши.

29 – 30. Интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

31 – 32. Абсолютная сходимость рядов. Действия над рядами.

33 – 34. Сходимость функциональных последовательностей и рядов. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.

35 – 36. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

37 – 38. Непрерывность суммы степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Разложение в степенные ряды некоторых функций.

39 – 40. Ряды Тейлора и Маклорена. Приложения рядов.

41 – 42. Тригонометрический ряд Фурье. Сходимость ряда Фурье для кусочно – дифференцируемой функции. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке [- l, l ].

 

Случайные события (12 ч)

 

1 – 2. Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики. Примеры непосредственного вычисления вероятностей.

3 – 4. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность.

5 – 6. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события. Принцип практической невозможности маловероятных событий.

7 – 8. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события.

9 –10. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса.

11 – 12. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Случайные величины (22 ч.)

 

13 – 14. Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий.

15 – 16. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Вероятностный смысл математического ожидания. Свойства математического ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.

17 – 18. Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия дискретной случайной величины. Формула для вычисления дисперсии. Свойства дисперсии.

19 – 20. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях. Среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин. Одинаково распределенные независимые случайные величины. Начальные и центральные теоретические моменты.

21 – 22. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.

23 – 24. Сущность теоремы Чебышева. Значение теоремы Чебышева для практики. Теорема Бернулли.

25 – 26. Определение функции распределения. Свойства функции распределения. График функции распределения.

27 – 28. Определение плотности распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. Свойства плотности распределения. Вероятностный смысл плотности распределения. Закон равномерного распределения вероятностей.

29 – 30. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Нормальное распределение. Нормальная кривая. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

31 – 32. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило трех сигм. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального.

33 – 34. Функция одного случайного аргумента и ее распределение. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения. Распределение «хи квадрат». Распределение Стьюдента. Распределение F Фишера – Снедекора.

 

Примерное планирование ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

 

Специальность – химия

I семестр (3 ч в неделю, всего 54 ч.)

 

Линейная и векторная алгебра (18 ч)

 

1 – 2. Определители второго и третьего порядков. Минор, алгебраические дополнения. Вычисления определителей с числовыми элементами.

3 – 4. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.

5 – 6. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы и его вычисление.

7 – 8. Матричное уравнение. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Обратная матрица.

9 –10. Метод Гаусса. Число решений системы (по методу Гаусса).

11 – 12. Сложение векторов. Умножение вектора на скаляр.

13 – 14. Прямоугольные координаты точки и вектора в пространстве.

15 – 16. Скалярное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты.

17 – 18. Векторное и смешанное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты. Геометрический смысл.

 

Элементы теории поля (24 ч)

 

1 – 2. Вычисление двойного интеграла.

3 – 4. Замена переменных в двойных интегралах. Двойные интегралы в полярных координатах.

5 – 6. Приложения двойных интегралов.

7 – 8. Вычисление тройных интегралов.

9 –10. Приложения тройных интегралов.

11 – 12. Вычисление криволинейных интегралов.

13 – 14. Формула Остроградского - Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

15 – 16. Приложения криволинейных интегралов.

17 – 18. Вычисление интегралов по поверхности.

19 – 20. Приложения интегралов по поверхности.

21 – 22. Дивергенция векторного поля. Ротор векторного поля.

23 – 24. Поток векторного поля. Работа векторного поля.

 

Ряды (10 ч.)

 

25 – 26. Сходимость числовых рядов. Признаки сходимости рядов с положительными членами.

27 – 28. Степенные ряды.

29 – 30. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

31 – 32. Применение рядов в приближенных вычислениях.

33 – 34. Ряды Фурье.

 

Случайные события (12 ч)

 

1 – 2. Классическое и статистическое определение вероятности. Геометрические вероятности.

3 – 4. Теорема сложения и умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.

5 – 6. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

7 – 8. Формула Бернулли.

9 –10. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

11 – 12. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях.

 

Случайные величины (22 ч.)

 

13 – 14. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Законы биноминальный и Пуассона.

15 – 16. Простейший поток событий.

17 – 18. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

19 – 20. Теоретические моменты.

21 – 22. Неравенство Чебышева.

23 – 24. Теорема Чебышева.

25 – 26. Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

27 – 28. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

29 – 30. Равномерное распределение.

31 – 32. Нормальное распределение.

33 – 34. Показательное распределение и его числовые характеристики.

 

Примерные экзаменационные вопросы

 

I семестр

 

1. Определители второго и третьего порядков.

2. Минор. Алгебраические дополнения.

3. Свойства определителя.

4. Матрицы и действия над ними.

5. Ранг матрицы и его вычисление.

6. Системы линейных уравнений.

7. Правило Крамера.

8. Число решений системы (исследование с помощью определителей).

9. Матричное уравнение. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

10. Обратная матрица.

11. Метод Гаусса. Число решений системы (по методу Гаусса).

12. Эквивалентные системы. Теорема о базисном миноре (без доказательства).

13. Теорема Кронекера – Капелли (без доказательства). Исследование систем линейных уравнений.

14. Прямоугольная система координат. Понятие вектора.

15. Проекция вектора на ось и на оси координат.

16. Направляющие косинусы вектора.

17. Линейные операции над векторами и их свойства.

18. Теоремы о проекциях векторов. Разложение вектора по базису.

19. Скалярное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты.

20. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты. Геометрический смысл.

21. Смешанное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты. Геометрический смысл.

22. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости (расстояние между двумя точками, площадь треугольника, деление отрезка в данном отношении).

23. Полярные координаты.

24. Преобразование прямоугольных координат.

25. Уравнение линии на плоскости.

26. Линии первого порядка (уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через две данные точки).

27. Угол между двумя прямыми, условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

28. Линии первого порядка (общее уравнение прямой, неполное уравнение первой степени, уравнение прямой в «отрезках»).

29. Нормальное уравнение прямой.

30. Расстояние от точки до прямой.

31. Линии второго порядка. Эллипс. Вывод канонического уравнения и исследование формы кривой. Окружность – как частный случай эллипса.

32. Гипербола. Вывод канонического уравнения и исследование формы кривой.

33. Парабола. Вывод канонического уравнения и исследование формы кривой.

34. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

35. Классификация линий второго порядка.

36. Уравнения плоскости (общее уравнение плоскости, исследование общего уравнения плоскости).

37. Уравнения плоскости (уравнение плоскости в «отрезках», уравнение плоскости, проходящей через три точки).

38. Нормальное уравнение плоскости.

39. Расстояние от точки до плоскости.

40. Угол между двумя плоскостями. Взаимное расположение плоскостей.

41. Прямая в пространстве (векторно – параметрическое уравнение прямой, параметрические уравнения прямой).

42. Прямая в пространстве (канонические уравнения прямой, уравнения прямой, проходящей через две данные точки).

43. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых в пространстве.

44. Прямая как пересечение двух плоскостей.

45. Взаимное расположение прямой и плоскости.

46. Угол между прямой и плоскостью.

47. Уравнение цилиндрической поверхности.

48. Эллипсоид.

49. Однополостный гиперболоид.

50. Двуполостный гиперболоид.

51. Эллиптический параболоид.

52. Гиперболический параболоид.

53. Конус второго порядка.

54. Числовые множества. Понятие функции.

55. Предел функции.

56. Бесконечно малые функции и их свойства.

57. Бесконечно большие функции.

58. Связь бесконечно малых и бесконечно больших функций.

59. Основные теоремы о пределах.

60. Непрерывность функции в точке.

61. Точки разрыва функции.

62. Непрерывность функции на промежутке.

63. Предел последовательности.

64. Число е как предел последовательности.

65. Замечательные пределы.

66. Сравнение бесконечно малых.

67. Эквивалентные бесконечно малые и использование их при вычислении пределов.

 

II семестр

 

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

2. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.

3. Производные некоторых функций.

4. Основные правила дифференцирования.

5. Производная сложной функции.

6. Основные формулы дифференцирования (логарифмической функции, показательной функции, тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций).

7. Дифференцирование неявной функции, параметрической функции.

8. Производные высших порядков.

9. Дифференциал функции.

10. Геометрический смысл дифференциала.

11. Свойства дифференциала.

12. Дифференциалы высших порядков.

13. Теоремы Лагранжа, Ролля, Коши.

14. Правило Лопиталя – Бернулли.

15. Приближенное решение алгебраических уравнений. Отделение корней.

16. Методы хорд, касательных, комбинированный.

17. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции.

18. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.

19. Достаточное условие экстремума.

20. Направления выпуклости, точки перегиба.

21. Асимптоты.

22. Комплексные числа.

23. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

24. Операции с комплексными числами.

25. Первообразная и неопределенный интеграл.

26. Свойства интеграла.

27. Таблица основных интегралов. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента.

28. Понятия об основных методах интегрирования (метод непосредственного интегрирования, метод замены переменной).

29. Понятия об основных методах интегрирования (интегрирование по частям).

30. Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в знаменателе.

31. Интегрирование рациональных функций.

32. Интегрирование тригонометрических выражений.

33. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.

34. Задачи, приводящие к интегральным суммам и их пределам.

35. Понятие определенного интеграла.

36. Геометрический смысл определенного интеграла.

37. Основные свойства определенного интеграла.

38. Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем.

39. Существование первообразной для непрерывной функции.

40. Формула Ньютона – Лейбница.

41. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

42. Приближенное вычисление определенного интеграла.

43. Несобственные интегралы.

44. Приложения определенного интеграла (площадь криволинейной фигуры в прямоугольных декартовых координатах, площадь в полярных координатах, длина дуги кривой).

45. Приложения определенного интеграла (объем тела, площадь поверхности вращения, работа переменной силы).

46. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

47. Частные производные функции нескольких переменных.

48. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

49. Дифференциалы высших порядков.

50. Дифференцирование сложных функций.

51. Дифференцирование неявных функций.

52. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала первого порядка.

53. Производная по направлению.

54. Градиент скалярного поля.

55. Экстремум функции нескольких переменных.

56. Условный экстремум.

57. Семейства линий на плоскости. Огибающая однопараметрического семейства линий.

58. Метод наименьших квадратов.

 

 

III семестр

 

1. Задачи, приводящие к двойным интегралам.

2. Двойной интеграл.

3. Свойства двойного интеграла.

4. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.

5. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.

6. Приложения двойного интеграла.

7. Тройной интеграл.

8. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

9. Приложения тройного интеграла.

10. Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла.

11. Криволинейный интеграл первого рода.

12. Криволинейный интеграл второго рода.

13. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

14. Приложения криволинейных интегралов.

15. Формула Грина.

16. Задачи, приводящие к понятиям интегралов по поверхности.

17. Понятия интегралов по поверхности.

18. Вычисление интегралов по поверхности.

19. Приложения интегралов по поверхности.

20. Формула Стокса.

21. Формула Остроградского.

22. Поток, расходимость, циркуляция, вихрь. Векторная формулировка теорем Остроградского и Стокса.

23. Признак полного дифференциала.

24. Сходимость и расходимость числовых рядов.

25. Необходимый признак сходимости ряда.

26. Признаки сходимости рядов с положительными членами.

27. Признак Даламбера. Признак Коши.

28. Интегральный признак сходимости.

29. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

30. Абсолютная сходимость рядов.

31. Действия над рядами.

32. Сходимость функциональных последовательностей и рядов.

33. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.

34. Свойства равномерно сходящихся рядов.

35. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

36. Непрерывность суммы степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

37. Разложение в степенные ряды некоторых функций.

38. Ряды Тейлора и Маклорена.

39. Приложения рядов.

40. Тригонометрический ряд Фурье.

41. Сходимость ряда Фурье для кусочно – дифференцируемой функции.

42. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

43. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке [- l, l ].

44. Основные сведения о дифференциальных уравнениях.

45. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

46. Однородные и приводящиеся к ним дифференциальные уравнения первого порядка.

47. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

48. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

49. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений.

50. Некоторые интегрируемые типы дифференциальных уравнений n -го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка.

51. Линейные однородные уравнения n -го порядка.

52. Линейные однородные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами.

53. Линейные неоднородные уравнения n -го порядка.

54. Линейные неоднородные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами.

55. Метод вариации произвольных постоянных.

56. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

 

IV семестр

 

1. Испытания и события.

2. Виды случайных событий.

3. Классическое определение вероятности.

4. Основные формулы комбинаторики. Примеры непосредственного вычисления вероятностей.

5. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.

6. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность.

7. Геометрическая вероятность.

8. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

9. Полная группа событий.

10. Противоположные события.

11. Принцип практической невозможности маловероятных событий.

12. Произведение событий.

13. Условная вероятность.

14. Теорема умножения вероятностей.

15. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.

16. Вероятность появления хотя бы одного события.

17. Теорема сложения вероятностей совместных соб