Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі.

Нехай задано комплексне число a = (a, b) = a + b×і, де a і b – декартові прямокутні координати точки a, що зображає комплексне число.

Введемо полярну систему координат таким чином, щоб полюс її збігався з початком декартової системи, а полярна вісь – з вісью 0х.

Нехай точка a має полярні координати a (r,j). Використовуючи зв¢язок між декартовою і полярною системами, маємо

a = a + bi = r×cosj + r×sinj

Звідси a = r (cosj + isinj), отримана форма запису комплесного числа називається тригонометричною формою, r – модуль комплексного числа a (r = ½a½), j - аргумент к a (j = arg a).

Таким чином ми довели, що будь-яке комплексне число можна записати в тригонометричній формі.

 

Розглянемо операції множення та ділення в тригонометричній формі.

Нехай задно два комплексних числа в тригонометрчній формі

a = r₁ (cos + i sin )

b = r₂ (cos + i sin ).

Треба одержати a× b = r (cos j + i sin j). Для того, щоб це зробити перейдемо від тригонометричної фори до агебраїчної і перемножимо.

a× b = ( cos + sin ) () =

= ,

тобто a×b = (cos( + )+i×sin( + )).

Звідси випливає:

r=r₁r₂, r=|a× b|, r₁=|a|, r₂=|b|, |a× b|=|a|×|b|.

j = + , j = arg (ab), = arg a, = arg b, arg (ab) = arg a + arg b.

Таким чином ми одержали, що

1) модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів.

2) аргумент добутку двох чисел дорівнює сумі аргументів.

Підсумовуючи це, маємо

Правило: Для того, щоб перемножити два числа в тригонометричній формі, треба перемножити їх модулі і додати аргументи.

Розглянемо частку двох комплексних чисел в тригонометричній формі

Домножимо чисельник і знаменник на

Отже, отримали правило

, arg () = × = arg a - arg b.

 

Операції піднесення до степеня

Поняття цілого степеня комплексного числа вводиться так само як і для дійсного числа. Нагадаємо, що при .

Домовились вважати . Для введення існують два шляхи.

1) , де

2)

Для корректності введеного поняття треба виконати вправу:

1) Довести

2) Довести при .

1. Розглянемо спочатку операцію піднесення в алгебраїчній формі. Нехай задано число . Оскільки з попередніх означень випливає, що піднесення до цілого степеня зводиться до піднесення до натурального степеня, то можна скористатися формулою Бінома Ньютона:

Розглянемо таблицю множення числа і

з цього випливає

Використовуючи таблицю множення та виділяючи дійсну та уявну частину, отримаємо

 

(1)

 

2. Розглянемо операцію піднесення до степеню, коли задано в тригонометричній формі.

Використовуючи правило множення комплексних чисел в тригонометричній формі, маємо

.

Тобто, - формула Муавра

(2)

 

Застосуємо отримані рівності (1) і (2) для знаходження розкладання і через і . Окремі випадки цих формул при n=2,3 відомі зі шкільного курсу.

Застосуємо до числа формулу (2). В тригонометричній формі

(3)

Застосуємо формулу (1) при , отримаємо

 

 

Порівнюючи в формулах (3) і (4) дійсні та уявні частини, отримаємо

(4)

 

Операція здобуття кореня n-ого степеня з комплексного числа

Нехай задане комплексне число .

Означення Коренем n-ого (n≥2) степеня з комплексного числа називається комплексне число таке, що

.

Нехай число задано в алгебраїчній формі . Шукатимемо також в алгебраїчній формі . Розглянемо найпростіший випадок n=1. Тоді за попереднім означенням треба знайти дійсні числа с і d такі що

Тобто,

Порівнюючи дійсні та уявні частини, отримаємо дійсну нелінійну систему рівнянь.

 

Більш складна система виникає, якщо таким шляхом вилучати корені степеня n≥3.

Розглянемо це питання для комплексного числа заданого в тригонометричній формі .

Шукатимемо також в тригонометричній формі .

За означенням, користуючись формулою Муавра, маємо

.

З цієї рівності випливає

Звідси випливає (арифметичний корінь), .

Отже

Насправді, щоб отримати всі корені достатньо змінювати . Нехай . Доведемо, що збігатиметься з одним з коренів . Поділимо к на n:

.

Тоді

Скористаємося періодичністю тригонометричних функцій, тоді

Отже, отримали формули

Зауваження В шкільному курсі символ вживався лише для арифметичних коренів. Тепер ми вживатимемо цей символ в більш широкому сенсі.