Решение систем линейных алгебраических уравнений

 

Точные методы

 

Метод Гаусса

 

Входные параметры: n—целое положительное число, равное порядку n системы; а — массив из n х n действительных чисел, содержащий матрицу коэффициентов системы (а(1) = а₁₁, а(2) = a_12…а(n) = а_n1, а(n + 1) = а₁₂,.... а(n х n) = а_nn); b — массив из n действительных чисел, содержащий столбец свободных членов системы (b(1) = b₁, b(2)=b_2,…b(n)=b_n).

Выходные параметры: b—массив из n действительных чисел (он же входной); при выходе из программы содержит решение системы b(l) = x₁, b(2) = x₂, … b(n) = х_n; error—признак правильности решения (код ошибки): если ks = 0, то в массиве b содержится решение системы, если error= 1, исходная система не имеет единственного решения (определитель системы равен нулю).

Перед обращением к подпрограмме SIMQ необходимо:

1) описать массивы а и b. Если система содержит n уравнений, то массив а должен содержать n²элементов, а массив b – n элементов;

2) присвоить значение параметру n, который равен числу
уравнений системы;

3) присвоить элементам массивов а и b значения коэффициентов системы следующим образом: a(l) = a₁₁, а(2) = а₂₁, а(3) = а₃₁,…а(n) = а_n1 а(n+1) = а₁₂, а(n+2) = а₂₂… а(n x n) = а_nn. b(1) = b₁, b(2)=b_2,…b(n)=b_n

4) проверить соответствие фактических параметров по типу и порядку следования формальным параметрам подпрограммы SIMQ. Параметры а и b - величины вещественного типа, n и error - целого типа.

 

Задание. Используя программу SIMQ, решить заданную систему трех линейных уравнений. Схема алгоритма приведена на рисунке 13.

Порядок выполнения лабораторной работы:

1. Составить головную программу, содержащую обращение к SIMQ и печать результатов;

2. Произвести вычисления на ЭВМ.

Пример. Решить систему уравнений

 

 

 

Рисунок 13 – Схема алгоритма метода Гаусса

 

Текст программы:

 

PROCEDURE SIMQ(Nn:Integer;Var Aa:TMatr;Var Bb:TVector;Var Ks:Integer);

Label M1;

Const Eps=1e-21;

Var Max,U,V: Real; I,J,K1,L: Integer;

Begin

For I:=1 To Nn Do Aa[i,Nn+1]:=Bb[i];

For I:=1 To Nn Do

Begin

Max:=Abs(Aa[i,i]); K1:=I; { запоминает номер строки с максимальным элементом }

For L:=I+1 To Nn Do If (Abs(Aa[l,i])>Max) Then

Begin

Max:=Abs(Aa[l,i]); K1:=L;

End;

I f(Max<Eps) Then Begin Ks:=1; Goto M1;

End Else Ks:=0;

If K1<>I Then

For J:=I To Nn+1 Do { обмен местами элементов строк с максимальным элементом }

Begin U:=Aa[i,j]; Aa[i,j]:=Aa[k1,j]; Aa[k1,j]:=U;

End;

V:=Aa[i,i]; { элемент на главной диагонали, являющийся максимальным }

For J:=I To Nn+1 Do Aa[i,j]:=Aa[i,j]/V;

For L:=i+1 To Nn Do {все по следующие строки после строки с максимальным элементом }{ при I=1: L=2 (2,2),(2,3)..(2,Nn+1)

L=3 (3,2),(3,3),..(3,Nn+1)

L=Nn (Nn,2), (Nn,3),.. (Nn,Nn+1) }

Begin

V:=Aa[l,i]; For J:=I+1 To Nn+1 Do Aa[l,j]:=Aa[l,j]-Aa[i,j]*V;

End;

End;

Bb[nn]:=Aa[Nn,Nn+1]; { находим n-ый элемент решения }

For I:=Nn-1 Downto 1 Do { находим в обратном порядке все элементы решения }

Begin Bb[i]:=Aa[i,nn+1];

For J:=I+1 To Nn Do Bb[i]:=Bb[i]-Aa[i,j]*Bb[j];

End;

M1:End;

 

Вычисления по программе привели к следующим результатам:

X(1)=.100000E+01 Х(2)=.200000Е+01 Х(3)=.З00000Е + 01

признак выхода 0

 

Варианты заданий для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса приведены в таблице 1.

 

Метод квадратных корней Холецкого

 

Входные параметры: n—целое положительное число, равное порядку n системы; а — массив из n х n действительных чисел, содержащий матрицу коэффициентов системы (а(1) = а₁₁, а(2) = a_12…а(n) = а_n1, а(n + 1) = а₁₂,.... а(n х n) = а_nn); b — массив из n действительных чисел, содержащий столбец свободных членов системы (b(1) = b₁, b(2)=b_2,…b(n)=b_n).

Выходные параметры: b—массив из n действительных чисел (он же входной); при выходе из программы содержит решение системы b(l) = x₁, b(2) = x₂, … b(n) = х_n; p—количество операций.

Схема алгоритма приведена на рисунке 14.

 

Пример. Решить систему уравнений

 

Текст программы:

 

Procedure Holets(n:integer;a:TMatr;b:TVector;var x:TVector;var p:integer);

Var i,j,k:integer; a11:real;

Begin

Out_Slau_T(n,a,b);

For i:=1 To n Do Begin

If i<>1 Then Begin

If a[i,i]=0 Then Begin

p:=0; error:=2; MessageDlg('!!!!',mtError,[mbOk],0);

Exit; End;

a[1,i]:=a[1,i]/a[1,1];

End;

For j:=1 To i Do Begin

For k:=1 To j-1 Do Begin

a[i,j]:=a[i,j]-a[i,k]*a[k,j];

End;

For i:=1 To n Do Begin

For j:=1 To i-1 Do b[i]:=b[i]-a[i,j]*b[j];

If a[i,i]=0 Then Begin

p:=0; error:=2; MessageDlg('!!!!',mtError,[mbOk],0);

Exit; End;

b[i]:=b[i]/a[i,i];

End;

For i:=n DownTo 1 Do Begin

For j:=n DownTo i+1 Do b[i]:=b[i]-a[i,j]*b[j];

End;

x:=b;

p:=2*n*n;

End;

 

Вычисления по программе привели к следующим результатам:

X(1)=.100000E+01 Х(2)=.200000Е+01 Х(3)=.З00000Е + 01

 

 

Рисунок 14 - Схема алгоритма метода Холецкого

 

Тема лабораторной работы №1 для контроля знаний проиллюстрирована контрольно – обучающей программой.

Варианты заданий. Решить систему линейных уравнений вида Ах=b

 

Таблица 1

Номер варианта	Матрица А коэффициентов системы	Столбец свободных членов b
	1,84	2,25	2,53	-6,09
	2,32	2,60	2,82	.-6,98
	1,83	2,06	2,24	-5,52
	2,58	2,93	3,13	-6,66
	1,32	1,55	1,58	-3,58
	2,09	2,25	2,34	-5,01
	2,18	2,44	2,49	-4,34
	2,17	2,31	2,49	-3,91
	3,15	3,22	3,17	-5,27
	1,54	1,70	1,62	-1,97
	3,69	3,73	3,59	-3,74
	2,45	2,43	2,25	-2,26
	1,53	1,61	1,43	-5,13
	2,35	2,31	2,07	-3,69
	3,83	3,73	3,45	-5,98
	2,36	2,37	2,13	1,48
	2,51	2,40	2,10	1,92
	2,59	2,41	2,06	2,16
	3,43	3,38	3,09	5,52
	4,17	4,00	3,65	6,93
	4,30	4,10	3,67	7,29
	3,88	3,78	3,45	10,41
	3,00	2,79	2,39	8,36
	2,67	'2,37	1,96	7,62
	3,40	3,26	2,90	13,05
	2,64	2,39	1,96	10,30
	4,64	4,32	3,85	17,89
	2,53	2,36	1,93	12,66
	3,95	4,11	3,66	21,97
	2,78	2,43	1,94	13,93
	2,16	1,96	1,56	13,16
	3,55	3,23	2,78	21,73
	4,85	4,47	3,97	29,75
	2,69	2,47	2,07	19,37
	2,73	2,39	1,92	19,43
Продолжение таблицы 1
	2.93	2,52	2,02	20,80
	3,72	3,47	3,06	30,74
	4,47	4,10	3,63	36,80
	4,96	4,53	4,01	40,79
	4,35	4,39	3,67	40,15
	4,04	3,65	3,17	36,82
	3,14	2,69	2,17	28,10
	4,07	3,79	3,37	40,77
	2,84	2,44	1,95	27,68
	4,99	4,50	3,97	49,37
	3,19	2,89	2,47	33,91
	4,43	4,02	3,53	47,21
	3,40	2,92	2,40	32,92
	2,57	2,26	1,84	28,66
	4,47	4,03	3,57	50,27
	4,89	4,40	3,87	55,03
	2,83	2,50	2,08	33,28
	3,00	2,55	2,07	33,59
	3,72	3,21	2,68	43,43
	3,78	3,44	3,02	46,81
	4,33	3,88	3,39	53,43
	4,76	4,24	3,71	58,73
	4,59	4,24	3,82	59,54
	4,83	4,36	3,88	62,33
	4,06	3,53	3,01	52,11
	4,56	4,20	3,78	61,86
	3,21	2,73	2,25	42,98
	4,58	4,04	3,52	61,67
	3,75	3,39	2,97	53,38
	4,18	3,70	3,22	59,28
	4,43	3,88	3,36	62,62
	2,95	2,58	2,16	44,16
	5,11	4,62	4,14	46,68
	4,38	3,82	3,30	65,34
	2,93	2,55	2,14	46,41
	3,47	2,98	2,50	54,78
	4,78	4,22	3,70	75,81
	3,74	3,36	2,94	63,26
	4,02	3,51	3,04	67,51
	4,18	3,61	3,09	70,03
Продолжение таблицы 1
	4,07	4,28	3,87	84,43
	5,30	4,79	4,32	95,45
	5,11	4,54	4,03	91,69
	4,90	4,50	4,09	94,18
	3,79	3,27	2,81	71,57
	4,01	3,43	2,91	75,45
	4,25	3,84	3,43	86,07
	3,86	3,34	2,87	77,12
	5,40	4,82	4,30	108,97
	3,35	2,94	2,53	70,69
	5,41	4,88	4,41	115,38
	3,88	3,30	2,78	81,07
	3,05	2,64	2,23	67,17
	4,14	3,61	3,14	91,43
	5,63	5,03	4,52	125,40

Лабораторная работа №2