Тема. Решение иррациональных уравнений

Тема. Решение иррациональных уравнений

Вопросы темы:

Методы решения иррациональных уравнений:

Метод пристального взгляда.

Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.

Решение уравнений с использованием замены переменной.

Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных уравнений.

Метод оценки.

Иррациональные уравнения, содержащие степени выше второй.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Методы решения иррациональных уравнений

 

 

Определение:

Уравнение с одной переменной    

называют иррациональным, если хотя бы одна из функций или  содержит переменную под знаком радикала.

 

При решении иррациональных уравнений необходимо установить:

- область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.

 

Метод пристального взгляда

 

Этот метод основан на следующем теоретическом положении:

“Если функция   возрастает в области определения и число  входит в множество значений, то уравнение  имеет единственное решение.”

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:

а) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

b) Записать область определения данной функции.

c) Доказать ее монотонность (возрастание) в области определения.

d) Угадать корень уравнения.

t) Обосновать, что других корней нет.

f) Записать ответ.

Пример 1. .

Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной .

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного .

Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного .

Пример 2:

Рассмотрим функцию .

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для  эта функция будет принимать наименьшее значение при , а далее только возрастать.

.

Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению .

Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения.

 

Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.

Теорема.

Пример 1.

,

,

.

Ответ:

Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида

При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Пример 2.       

Ответ:

Входящих в уравнение.

Теорема.

Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений

 

Пример 1.

При  уравнение принимает вид:  которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.

Пример 2.

Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего, а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине

В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:

Уравнение примет вид:

или

 

Корень уравнения  т.е. число  при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.

Уравнение  не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.

Ответ:

Метод оценки.

Этот способ применим в том случае, когда подкоренные выражения представляют собой квадратный трехчлен, не раскладывающийся на линейные множители. Поэтому целесообразно оценить левую и правую части уравнения.

Пример 1.

Оценим обе части уравнения:

,

,

Левая часть уравнения существует при всех значениях переменной , не меньших 5,

а правая – при всех значениях, не больших 5, следовательно, уравнение будет иметь решение, если обе части уравнения одновременно равны 5, т. е. справедлива следующая система:

Корнем второго уравнения системы является число

Проверим, является ли это число корнем второго уравнения:

.

Ответ:

Пример 2.

Для всех  имеем

Используя неравенство Коши, можем записать:

причем равенство достигается при   и

Таким образом,   -корень исходного уравнения.

Ответ:

Выше второй.

 

Если уравнение имеет вид  то его можно решить, возводя обе части этого уравнения в степень . Полученное уравнение :

- при нечетном  равносильно данному уравнению,

- а при четном  является его следствием, аналогично рассмотренному выше случаю при

Пример 1

Возведем обе части уравнения в куб:

или

которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

При решении иррациональных уравнений очень часто пользуются следующим приемом.

Если  то

В последнем равенстве   заменяем  на  и получаем

Далее легко избавиться от кубической иррациональности, возводя обе части в куб.

Пример 2.

 

Здесь, очевидно,

Возведем в куб обе части уравнения, получим:

,

или

или

или

или   Проверка подтверждает, что это корень уравнения.

Ответ:

Замечание.

Замена в конкретном примере левой части на правую, вообще говоря, неправомерна – ведь нам неизвестно ни одно значение , при котором это уравнение превращается в верное числовое равенство. Возможно, таких решений нет вообще. Допуская в практических действиях такую замену, мы фактически расширяем возможное множество решений. Поэтому все найденные решения следует проверять и только те, которые превращают исходное уравнение в верное равенство, следует записать в ответ.

От того, что школьник решит лишний десяток задач, умнее и сообразительнее он не станет, Результат обучения оценивается не количеством сообщаемой информации, а качеством ее усвоения. Это качество будет выше, если на один и тот же пример посмотреть с разных сторон. Решение задач разными способами способствует развитию активного мышления учащихся. Хорошую почву для этого дает решение примеров разными способами.

Пример 3. Способ 1.

(1)

Возведем обе части уравнения в куб:

Группируя, получаем:

Используя равенство (1) имеем:

или

или

или

 корни которого

Ответ:

Способ 2.

Иногда полезно ввести не одну вспомогательную переменную, а несколько, сводя исходное уравнение к системе уравнений.

 

Пусть     Тогда   

Таким образом справедлива следующая система:

 

Возвращаясь к переменной находим

Ответ:

В следующем примере введение вспомогательной переменной сводит исходное уравнение к однородному.

Пример 4.

Положим

Тогда исходное уравнение примет вид:

Поскольку  при котором переменная  обращается в нуль, не является решением исходного уравнения (в чем можно убедиться подстановкой), делим обе части уравнения на

решая которое, находим:

Осталось решить уравнения   и

Корнями этих уравнений являются числа

 

Ответ:

Пример 5.

Область допустимых значений задается неравенством

Преобразуем уравнение следующим образом:

Один корень этого уравнения

Для решения второго уравнения положим

и решим

Корни этого уравнения

Последний корень не принадлежит указанному промежутку, поэтому, решая уравнение ,  получим

Ответ:

 

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

 

1. Представленный материал изучить и законспектировать в тетрадь по математике.

2. Обязательным к изучению являются методы, представленные в вопросах 1, 2 и 3.

3. Материал, представленный в вопросах 1, 4, 5, 6, 7 – для желающих выучить дополнительный материал.

4. Выполнить примеры домашнего задания в тетради по математике:

Примеры задания:

1. Решить представленные уравнения: А1 – А8.

2. Сверить свой ответ с представленными ответами.

 

Тема. Решение иррациональных уравнений

Вопросы темы:

Методы решения иррациональных уравнений:

Метод пристального взгляда.