Определение скалярного произведения

Пусть даны векторы . Приложим эти векторы к одной точке , и пусть ,

Углом между двумя ненулевыми векторами называется наименьший угол между лучами и  .

Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол между векторами  не определён.

Угол между векторами   и обозначается через 𝜑 или . Очевидно, что .

Определение5.1. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла 𝜑 между ними.

Если хотя бы один из векторов  нулевой, то их скалярное произведение полагается равным нулю. Скалярное произведение векторов обозначается следующим образом .

Итак, по определению .

Пусть - ненулевые векторы. Обозначим через – проекцию вектора на ось, определяемую ненулевым вектором Тогда в силу теоремы 4.1 настоящей главы , где 𝜑 – угол между векторами  Следовательно равенство (1)   может быть записано в виде .  

Аналогично  доказывается справедливость равенства

Заметим, что равенство (2) верно для любого ненулевого вектора и любого вектора , в том числе нулевого. И равенство (3) верно для любого ненулевого вектора и любого вектора в том числе нулевого.

Физический смысл скалярного произведения. Если вектор  изображает силу, точкаприложения которой перемещается из начала в конец вектора,  то работа, производимая этой силой равна скалярному произведению .

 Два ненулевых вектора называются ортогональными (или перпендикулярными), если угол 𝜑 между ними является прямым.

Если хотя бы один из векторов  является нулевым, то эти векторы также считаются ортогональными.

Теорема 5.1. Для ортогональности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

Достаточность. Пусть . Тогда в силу определения скалярного произведения

. Из последнего равенства мы имеем либо 1)  либо 2) . В первом случае хотя бы один из векторов нулевой, и тогда векторы считаются ортогональными по определению.

Во тором случае  , следовательно угол 𝜑 прямой, т.е.   векторы ортогональны.

Необходимость. Если векторы ортогональны, то либо угол 𝜑 прямой, либо хотя бы один из векторов нулевой, но в любом случае

Теорема 5.1 доказана.

Теорема 5.2. Для любых векторов  и числа

1) ;

2) ;

3)

4) , если  - ненулевой вектор и , если  - нулевой вектор.

Свойство 1 следует из определения скалярного произведения. Действительно, если ненулевые векторы, то .

Докажем свойство 2. Рассмотрим случай, когда  - нулевой вектор. Тогда ,  и = . В этом случае справедливость свойства 2 очевидна. Пусть теперь - ненулевой вектор. Тогда согласно теореме 4.5 §4 главы 3

Свойство 2 доказано.

Докажем свойство 3. В случае, когда нулевой вектор, справедливость свойства 3 очевидна. Пусть  - ненулевой вектор, тогда . Свойство 3 доказано.

Докажем свойство 4. Из определения скалярного произведения следует, что

 Из последнего равенства следует справедливость свойства 4.

Замечание. Свойства 2) и 3) называются свойством линейности скалярного произведения по первому множителю. Из свойства 1) следует, что скалярное произведение обладает свойством линейности и по второму множителю, т.е.  и  для любых векторов  и любого действительного числа 𝜆.

Рассмотрим следующий вопрос:  Как можно выразить скалярное произведение векторов , зная их координаты.

Теорема 5.3. Если вектор  имеет декартовы координаты , а  координаты , то скалярное произведение  равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е.

Доказательство.  Представим векторы , . Тогда

Пользуясь свойствами скалярного произведения, получим

Учитывая в правой части последнего равенства, что , ,  

, получим

Теорема 5.3 доказана.

Следствие. Для ортогональности двух векторов  и  необходимо и достаточно, чтобы .

Справедливость этого утверждения непосредственно следует из теорем 5.1 и 5.3.

Пусть  - прямоугольные декартовы координаты вектора в прямоугольной системе координат . Согласно теореме 5.3

С другой стороны . Следовательно

Если  - прямоугольные координаты вектора  в системе координат , то