Рассмотрим вторую задачу такого же типа.

Задача 2. [6]  В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

 - каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей

 Сколько млн рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Решение.

Так же запишем краткую запись:

S =? млн рублей

r = 20%

k = 1, 2

x = 2, 16 млн рублей

n = 3 года

Долг (Sk)	Выплата	Остаток
Sk	x	Sk-x
k(Sk-x)	x	k(Sk-x)-x
k(k(Sk-x)-x)	x	k(k(Sk-x)-x)-x

Раскроем скобки

Долг (Sk)	Выплата	Остаток
Sk	x	Sk-x
Sk^2-kx	x	Sk^2-kx - x
Sk^3-k^2x - kx	x	Sk^3-k^2x - kx - x

Sk³-k²x - kx – x = 0

Sk³ =k²x + kx + x

Sk³ = х (k²+ k + 1) (сделаем замену числа k)

S*1, 2³ =х (1,2²+ 1,2 + 1) (сделаем замену числа х)

S =

S =

S = 4, 55 (млн рублей)

Ответ: 4,55 млн рублей

Заметим, что обе задачи решаем по одной схеме. Различия в том, что в первой задаче ищем размер выплат, а во второй задаче – сумму, взятую в кредит. В обеих задачах приходим к одной формуле.

Задача 1. k(Sk-x)-x=0(последний остаток равен 0), отсюда

                                            

С этого момента можем получить две формулы.

1.         2.

Задача 2. (последний остаток равен 0), отсюда

                                            

С этого момента можем получить две формулы.

1.         2.

Задача 3. [5]   31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)

Решение. Снова нарисуем спираль.

Решение.

Краткая запись:

S = 9 282 000 млн

 r = 10% (годовые)

 k = 1+0,01r = 1 + 0,01*10 =1,1

 n = 4 года

 х =? рублей

Долг(S*k)	Выплата	Остаток
Sk	х	Sk - x
k(kS-x)	x	K(kS-x) - x
k(k(kS-x) - x)	x	K(K(kS-x) - x) - x
K(K(K(kS-x) - x) - x)	x	K(K(K(kS-x) - x) - x) - x

 Раскроем скобки

Долг(S*k)	Выплата	Остаток
Sk	х	Sk - x
k^2S-kx	x	k^2S-kx - x
k^3S-k^2x- kx	x	k^3S-k^2x - kx - x
k^4S-k^3x – k^2x - kx	x	k^4S-k^3x - k^2x - kx-x

* Примечание: на основании этой таблицы, можно вывести формулу

KⁿS – k^n-1x – k^n-2x – k^n-3x - …. - kx –x = 0

Составим уравнение, где последний остаток равен нулю.

 k⁴S-k³x - k²x - kx-x = 0 (подставим вместо k число  )

()⁴S = x(()³ + ()² +  + 1)

()⁴S = x ( +  +  + 1)

 ()⁴S = x

 11⁴*S÷10⁴ = 4641x÷10³

4641x*10⁴ = 11⁴S*10³

x = 11⁴S*10³ ÷ 4641*10⁴ (заменим S на 9 282 000)

 12

x = 14 641 * 9 282 000 ÷ 4641

x = 2 928 200

Ответ: 2 928 200 рублей

Второй способ решения задачи.

Назовем эти задачи А) Задачи на  равный размер выплат.

Зная, что мы долг должны погасить четырьмя равными платежами запишем формулу

последнего остатка k⁴S-k³x - k²x - kx-x = 0. Отсюда выведем

k⁴S=k³x + k²x + kx+x.

; Если бы мы искали S, то получили бы формулу ;

На основании решений задач 1, 2, 3 запишем формулы

;                                                          ;