Абсолютные и относительные показатели вариации

В математической части измерения вариации, теория статистики опирается на математическую статистику, применяя при этом показатели, которые классифицируют на абсолютные и относительные.

Абсолютные – размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и середнеквадратическое отклонение. Абсолютные показатели вариации всегда величины именованные. В зависимости от исходных данных их рассчитывают по несгруппированным и сгруппированным значениям.

Размах вариации (R) – различие между единицами совокупности, имеющими самое большое и самое маленькое значение:           R = x_max - x_min ,

где x_maxиx_min - соответственно максимальное и минимальное значения.

Его сущность в измерении расстояния между крайними точками. Поэтому величина показателя всецело зависит от этих значений, хотя и не учитывает всех изменений варьирующего признака в пределах совокупности.

Среднее линейное отклонение (d_ср) – средняя арифметическая из отклонений отдельных значений варьирующего признака от средней величины:

d _ср =∑|х-х_ср|/ n (простое);     d _ср =(∑|х-х_ср| ƒ) / ∑ƒ (взвешенное)

 Данный показатель даёт обобщённую характеристику степени колеблемости признака в совокупности.

Дисперсия (σ²) – средний квадрат отклонений индивидуальных значений варьирующего признака от их средней величины:

σ² = ∑(х-х_ср)² / ∑n (простая);  σ² = (∑(х-х_ср)² ƒ) / ∑ƒ (взвешенная)

Среднеквадратическое отклонение (σ) – наиболее обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности, главное сущностное измерение меры колеблемости:

σ = √∑(х-х_ср)² / ∑n (простое);    σ = √(∑(х-х_ср)² ƒ) / ∑ƒ  (взвешенное)

Различают относительные показатели размаха вариации (коэффициент осцилляции), среднего линейного отклонения, коэффициент вариации.

Относительный размах вариации (V_R) – отражает относительную меру колеблемости крайних значений признака вокруг средней:

V_R = R /х_ср×100.

Относительное среднее линейное отклонение (V_d) – отражает долю усреднённого значения абсолютных отклонений от средней величины:

V _d = d _ср /х_ср×100.

Коэффициент вариации (V_σ) – наиболее распространённый показатель колеблемости, поскольку среднеквадратическое отклонение даёт наиболее общую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности:

V_σ = σ/х_ср×100.

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 10 %, от 10 до 30% – колеблемость средняя, и свыше 30 % – считается неоднородной (в некоторых литературных источниках к однородной относят при V_σ  равному 33%).

 1.3. Свойства вариации и правила сложения дисперсии

Различают общую дисперсию, межгрупповую и внунтригрупповую.

Общая дисперсия (σ_о²) – измеряет вариацию признака всей совокупности под воздействием всех факторов, обусловивших данную вариацию. Рассчитывается по простой и взвешенной формулам.

σ_i² = Σ(х_i-х_o)²n / Σn (простая);     σ_i² = Σ(х_i-х_o)²f / Σf    (взвешенная).

Межгрупповая дисперсия (δ_х²) – характеризует вариацию признака, возникающую под воздействием какого-либо одного фактора, стоящего в основании группировки. Данная характеристика проявляется в отклонении групповых средних от общей средней.

δ_х² = Σ(х_i-х_о)²n/Σn.

Внутригрупповая дисперсия (σ_i²) – показывает случайную вариацию, её какую –то часть, происходящую под влиянием случайных, неучтённых факторов. Не зависит от изучаемого фактора, стоящего в основании группировки.

  σ_i² = Σ(х-х_i)²n / Σn (простая);     σ_i² = Σ(х-х_i)²f / Σf    (взвешенная).

Средняя из внутригрупповых дисперсий исчисляется по формуле:

σ_i² = Σσ_i²·n/Σn.

Эта средняя также отражает ту часть вариации, обусловленную действием всех прочих неучтённых факторов, кроме фактора, по которому осуществилась группировка (группировочный).

По полученным величинам всех дисперсий в статистике изучается правило сложения дисперсий, согласно которому общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий:        σ_о² = δ_х² + σ_i².

В статистическом анализе широко используется эмпирический коэффициент детерминации (η² = δ_х² /σ_i²), показывающий удельный вес общей вариации изучаемого признака, обусловленной вариацией группировочного признака, а также эмпирическое корреляционное отношение (η) – как результата извлечения корня квадратного из первого. Эмпирическое корреляционное отношение характеризует влияние признака, лежащего в основании группировки на вариацию результативного. Измеряется в пределах от 0 до 1.

При η = 0  группировояный признак не оказывает влияние на результативный,если η = 1, то результативный изменяется только под влиянием группировочного, влияние же прочих равно 0. Промежуточные же величины оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям: чем ближе к 1, тем взаимосвязь сильнее.