Системы одновременных уравнений в матричной форме. Проблема идентифицируемости.

Измерение тесноты связи между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточно для объяснения функционирования сложных экономических систем. Изменение одной переменной не может происходить при абсолютной неизменности других. Её изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков. Таким образом отдельно взятое уравнение регрессии не может характеризовать истинное влияние отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Поэтому в экономических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между системой переменных.

Система одновременных уравнений — совокупность эконометрических уравнений (часто линейных), определяющих взаимозависимость экономических переменных. Важным отличительным признаком системы «одновременных» уравнений от прочих систем уравнений заключается в наличии одних и тех же переменных в правых и левых частях разных уравнений системы (речь идет о так называемой структурной форме модели, см. ниже).

Эндогенными называются переменные, значения которых определяются в процессе функционирования изучаемой экономической системы. Их значения определяются «одновременно» исходя из значений некоторых экзогенных переменных, значения которых определяются вне модели, задаются извне. В системах одновременных уравнений эндогенные переменные зависят как от экзогенных переменных, так и от эндогенных.

Предположим, что имеется следующая система уравнений:

(1)называемая структурной формой модели. Переменные , определяемые внутри системы, называются эндогенными, в переменные  могут быть включены как внешние по отношению к системе (экзогенные) переменные, так и лагированные значения эндогенных переменных, которые называются предопределенными переменными.

Индекс t означает номер наблюдения (t =1,…, n), а – случайные ошибки. Будем считать, что в каждом уравнении один из коэффициентов β при какой либо эндогенной переменной равен 1 – это естественное условие нормировки. Оно позволяет представить каждое уравнение в привычном виде, когда в левой части одна эндогенная переменная, а в правой части - остальные переменные с неизвестными коэффициентами плюс случайная ошибка. Обозначим

(2)Тогда систему (1) можно переписать в следующем виде: .

Подчеркнем, что деление переменных на экзогенные и эндогенные должно быть проведено вне модели. Одно из основных требований к экзогенным переменным – некоррелированность векторов  и  в каждом наблюдении t. Будем полагать, что

1. ;

2. , причем матрица Σ не зависит от t и положительно определена;

3. при векторы  и  некоррелированы;

4. матрица Β невырождена (ее определитель не равен нулю).

Используя условие 4, умножим обе части равенства (2) слева на :                  (3)

Система (3) называется приведенной формой модели. Элементы матриц Β и Γ называют структурными коэффициентами, а элементы матрицы Π – коэффициентами приведенной формы.

Определение 1. Уравнение структурной формы модели называется точно идентифицируемым, если все участвующие в нем неизвестные коэффициенты однозначно восстанавливаются по коэффициентам приведенной формы без каких либо ограничение на значения последних.

Определение 2. Система одновременных уравнений называется идентифицируемой, если все уравнения ее структурной формы являются точно идентифицируемыми.

Определение 3. Уравнение структурной формы называется сверхидентифицируемым, если все участвующие в нем коэффициенты восстанавливаются по коэффициентам приведенной формы, причем некоторые из его коэффициентов могут принимать одновременно несколько числовых значений, соответствующей одной и той же приведенной форме.

Определение 4. Уравнение структурной формы называется неидентифицируемым, если хотя бы один из участвующих в нем неизвестных коэффициентов не может быть восстановлен по коэффициентам приведенной формы. Соответственно модель называется неидентифицируемой, если хотя бы одно из уравнений ее структурной формы является неидентифицируемым.

Проблема идентифицируемости логически предшествует задаче оценивания, отсутствие идентифицируемости означает, что существует бесконечно много моделей, совместимых с имеющимися наблюдениями, и это никак не связано с количеством наблюдений.

Превышение числа структурных коэффициентов над числом коэффициентов приведенной формы есть  и, следовательно, в общем случае система неидентифицируема. Однако, некоторые структурные коэффициенты или структурные уравнения могут быть идентифицированы. Основная причина этого – наличие априорных ограничений на структурные коэффициенты.

Необходимое условие идентифицируемости структурного уравнения (порядковое условие): количество переменных правой части уравнения должно быть не больше количества всех экзогенных переменных системы. В канонической форме (когда "левой" и "правой" частей нет) данное условие иногда формулируют следующим образом: количество исключенных из данного уравнения экзогенных переменных должно быть не меньше количества включенных эндогенных переменных уравнения минус единица. Если данное условие не выполнено, то уравнение неидентифицируемо. Если выполнено со знаком равенства, то, вероятно, точно идентифицируемо, иначе - сверхидентифицируема.

Достаточное условие идентифицируемости структурного уравнения (ранговое условие): ранг матрицы, составленной из коэффициентов (в других уравнениях) при переменных, отсутствующих в данном уравнении, не меньше общего числа эндогенных переменных системы минус единица.

Примеры. Простейшая макроэкономическая (кейнсианская) модель

Здесь C и Y — потребление (потребительские расходы) и доход — эндогенные переменные модели, I — инвестиции — экзогенная переменная модели, b — предельная склонность к потреблению

Приведённая форма модели имеет вид:

Величина m=1/(1-b) называется мультипликатором инвестиций (единица увеличения инвестиций приводит к существенно большему изменению дохода). Можно проверить порядковое условие идентифицируемости. В первом уравнении в правой части 1 эндогенная переменная и нет экзогенных переменных (без учета константы). Всего экзогенных переменных в модели - 1 (тоже без константы). Таким образом, порядковое (необходимое) условие идентифицируемости выполнено. Видно, что приведённая форма является ограниченной с двумя ограничениями p11=p21 и p22-p12=1.