Формула полной вероятности, формула Байеса.

  Теорема. Вероятность события B, которое может наступить только при условии появления одного из событий A₁, A₂, A₃, …, A_n, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий A₁, A₂, A₃, …, A_n на соответствующую условную вероятность события B, т.е.

Р(B) = Р(A_i) Р_Ai(B).                              (1)

Согласно условию теоремы, событие B может наступить, если появится одно из событий A₁, A₂, A₃, …, A_n. Это означает, что появление события B влечет появление одного из событий A₁B, A₂B, A₃B, …, A_nB, неважно какого. Поэтому событие B можно представить в виде B = A₁B + A₂B + A₃B + … + A_nB. Так как события A₁, A₂, A₃, …, A_n, по условию, попарно несовместимы, то, очевидно, несовместны и события A₁B, A₂B, A₃B, …, A_nB. Тогда, применяя теорему сложения для несовместных событий, получаем

Р(B) = Р(A₁B) + Р(A₂B) + Р(A₃B) + … + Р(A_nB)

Далее, по теореме умножения вероятностей, можно записать Р(B)=Р(A₁)Р_A1(B)+Р(A₂)Р_A2(B)+Р(A₃)Р_A3(B)+ … + Р(A_n)Р_An(B)=Р(A_i)Р_Ai(B).

Формула (1), в справедливости которой убеждает доказанная теорема, называется формулой полной вероятности, а события A₁, A₂, A₃, …, A_n – гипотезами.

Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

 

При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие B, вероятность которого следовало определить, могло произойти с одним из событий A₁, A₂, A₃, …, A_n, образующих полную группу, при этом вероятности указанных событий (гипотез) были заранее известны. Предположим, что проведен опыт и событие B наступило. Установим, как изменяются после этого вероятности гипотез, т.е. найдем условную вероятность Р_A(B) для каждой гипотезы.

По теореме умножения (вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило Р(АВ)=Р(А)*Р_А(В)) имеем

Р(BA_i) = Р(B)Р_B(A_i) = Р(A_i) Р_Аi(B), i=1, 2, 3, …, n,

или

Р(B)Р_B(A_i) = Р(A_i) Р_Аi(B).

Отсюда

Р_B(A_i) = Р(A_i) Р_Аi(B) / Р(B).

Воспользовавшись формулой (1), имеем

Р_B(A_i) = Р(A_i) Р_Аi(B) / Р(A_i) Р_Аi(B)

 

Полученная формула называется формулой Байеса или теоремой гипотез. Формула Байеса позволяет "пересмотреть" вероятности гипотез после того, как становится известным результат опыта, в результате которого появилось событие А.

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии).

Пример. Пусть вероятность брака у первого рабочего , у второго рабочего — , а у третьего — . Первый изготовил деталей, второй — деталей, а третий — деталей. Начальник цеха берёт случайную деталь, и она оказывается бракованной. Спрашивается, с какой вероятностью эту деталь изготовил третий рабочий?

Cобытие — брак детали, событие — деталь произвёл рабочий . Тогда , где , а  По формуле полной вероятности                  По формуле Байеса получим:

 

ЧТОБЫ ВСПОМНИТЬ: Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле .

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле: .

Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности.

Условной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

В частности, отсюда получаем .

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Построение общего решения однородного уравнения. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом вариаций произвольных постоянных и методом неопределенных коэффициентов.

Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y’(x), y’’(x), …, y⁽ⁿ⁾(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многихпеременных.

Линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами явл. уравнение вида:

, гдеa_k – постоянные вещественные числа

Система функций y₁, y₂, …, y_n-1, y_n называется линейно независимой в интервале (a,b), если тождество c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ +…+ c_ny_n =0 (c₁, c₂,.., c_n - постоянные числа) может выполняться только когда все c_k=0 (такие решения y_k можно сравнить с векторами на плоскости: есть векторы, которые нельзя выразить один через другой – это линейно независимые векторы. Все остальные векторы можно выразить через них с помощью умножения на любое число и сложение). Если к тому же каждая из функций y_k является частным решением однородного уравнения, то система решений однородного уравнения называется фундаментальной системой решений.

Если фундаментальная система решений найдена, то функция y = c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ +…+ c_ny_n дает общее решение однородного уравнения (все c_k - константы).

Для нахождения частных решений составляют характеристическое уравнение , которое получается заменой в нём производных искомой функции соответствующими степенями k, сама функция заменяется на единицу. Тогда общее решение строится в зависимости от характера корней:

1) каждому действительному простому (некратному) корню k в общем решении соответствует слагаемое вида Ce^kx;

2) каждому действительному корню кратности m в общем решении соответствует слагаемое (C ₁ + C ₂ x +…+ C_mx^{m -1}) e^kx;

3) каждой паре комплексно сопряжённых простых корней k₁₂=a±bi в общем решении соответствует слагаемое вида e^ax(C₁cosbx+C₂sinbx);

4) крастности m вида e^ax[(C₁+C₂x+…+C_m-1x^m-1)cosbx]+[(C₁^’+C₂^’x+…+C_m-1^’x^m-1)sinbx]

 

Линейное неоднородное уравнение:

Если u=u(x) – частное решение неоднородного уравнения, а y1, y2, …, yn – фундаментальная система решений соответствующего однородного, то общее решение неоднородного следует искать в виде y=u+C1y1+C2y2+…, то есть общее решение неоднородного уравнения есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного.

Методы отыскания частного решения неоднородного:

1) Метод вариации произвольных постоянных. Пусть известна фундаментальная система решений y₁, y₂, y₃… (общее решение однородного), то общее решение неоднородного ищется в виде u(x)=C₁(x)y₁+C₂(x)y₂+…+C_n(x)y_n, где С₁(x), C₂(x), … C_n(x) находим из системы

С’₁(x)y₁+C’₂(x)y₂+…+C’_n(x)y_n=0,

С’₁(x)y’₁+C’₂(x)y’₂+…+C’_n(x)y’_n=0,

…

С’₁(x)y₁^(n-2)+C’₂(x)y₂^(n-2)+…+C’_n(x)y_n^(n-2)=0,

С’₁(x)y₁⁽ⁿ⁾+C’₂(x)y₂⁽ⁿ⁾+…+C’_n(x)y_n⁽ⁿ⁾=f(x),

Находим c’_i(x), интегрируем их, подставляем полученные первообразные c_i(x) в общее решение неоднородного уравнения.

2) Метод неопределенных коэффициентов. Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.

 Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

 где Pn(x) и Qm(x) − многочлены степени n и m, соответственно.

В случае 1, если число α в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель x^s, где s − кратность корня α в характеристическом уравнении.

В случае 2, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x.

Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

 

Пример: Найти общее решение уравнения y'' + y' −6y = 36x.

Решение. Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Правая часть заданного уравнения представляет собой линейную функцию f(x) = ax + b. Поэтому будем искать частное решение в виде

Производные равны:

Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем:

Последнее уравнение является тождеством, то есть справедливо для всех x, поэтому приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x в левой и правой части:

Из полученной системы находим: A = −6, B = −1. В результате, частное решение записывается в виде y₁=-6x-1

Теперь найдем общее решение однородного дифференциального уравнения. Вычислим корни вспомогательного характеристического уравнения:

Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:

Итак, общее решение исходного неоднородного уравнения выражается формулой