Электромагнитное поле. Теория Максвелла

Дальнейшее развитие и завершение электродинамика получила в трудах великого английского физика Дж. Максвелла (1831–1879). Основные положения электромагнитной теории он изложил в работах «О физических линиях силы» (1862) и «Динамическая теория поля» (1865). Опираясь на эмпирические законы электрических и магнитных явлений, на полевые представления своего соотечественника М. Фарадея, Максвелл сформулировал фундаментальные уравнения классической электродинамики. Уравнения Максвелла играют в электродинамике такую же роль, какую законы Ньютона в механике.

В интегральной форме система уравнений Максвелла имеет следующий вид:

,	(16)
,	(17)
,	(18)
.	(19)

Уравнения Максвелла связывают величины, характеризующие электромагнитное поле, с его источниками, т.е. с распределением в пространстве электрических зарядов и токов. В вакууме электромагнитное поле характеризуется напряженностью электрического поля  и магнитной индукцией , которые являются векторными величинами и зависят от пространственных координат () и времени . Эти величины определяют силы, действующие со стороны поля на заряды и токи, распределение которых в пространстве задается плотностью заряда  (величиной заряда в единице объема ) и плотностью электрического тока . Для описания электромагнитных процессов в материальной среде, кроме  и , вводятся вспомогательные векторные величины, зависящие от состояния и свойств среды: электрическая индукция  и напряженность магнитного поля . Уравнения Максвелла могут быть записаны в интегральной или дифференциальной форме.

Уравнение(16) выражает закон электромагнитной индукции Фарадея, который в современной формулировке звучит так: электродвижущая сила электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь площадь, ограниченную этим контуром. Анализируя явление электромагнитной индукции, Максвелл пришел к выводу, что причина появления индукционного тока заключается в возникновении электрического поля.

При этом роль проводника пассивна и служит только своеобразным индикатором существования электрического поля в месте нахождения контура. Под действием поля электроны проводимости металла приходят в движение и если проводник замкнут, то в нем возникает индукционный ток. Электрическое поле, вызванное изменяющимся со временем магнитным полем, существенно отличается от электростатического поля, создаваемого зарядами. Дело в том, что линии электростатического поля всегда разомкнуты, они начинаются и заканчиваются на электрических зарядах и в соответствии с этим напряжение по замкнутому контуру всегда равно нулю, т.е. . По этой причине электростатическое поле не может обеспечивать замкнутое движение электрических зарядов по контуру и, следовательно, не может создавать и поддерживать электрический ток. Электрическое поле, возникающее при электромагнитной индукции, напротив, имеет замкнутые силовые линии. Следовательно, оно является вихревым. Такое поле вызывает в проводнике движение электронов по замкнутым траекториям, что приводит к возникновению индукционного тока. Напряжение по замкнутому контуру в этом поле не равно нулю.

,

где  – напряженность вихревого электрического поля.

Уравнение(17)представляет собой теорему Гаусса для магнитного поля: Поток вектора  сквозь произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю. Это свидетельство того, что магнитные силовые линии замкнуты и магнитных зарядов, способных вызывать магнитное поле, нет.

Уравнение (18) утверждает, что магнитное поле порождается током проводимости (движущимися зарядами)  и изменяющимся во времени электрическим полем (током смещения ). Открытие тока смещения () позволило Максвеллу создать единую теорию электромагнитных явлений. Уравнение (16) утверждает, что всякое перемен-ное магнитное поле вызывает вихревое электрическое поле. Анализируя различные электромагнитные процессы, Максвелл пришел к выводу, что должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля вызывает появление вихревого магнитного поля. Это утверждение выражает важнейшее свойство электромагнитного поля, и оно выражено уравнением (18). Так как магнитное поле является основным обязательным признаком всякого тока, то Максвелл назвал переменное электрическое поле током смещения в отличие от тока проводимости, обусловленного движением заряженных частиц.

Следует отметить, что термин «ток смещения» не является удачным. Он имеет некоторое основание в случае диэлектриков, так как действительно происходит их поляризация (смещение зарядов атомов и молекул) во внешнем электрическом поле и на поверхности образуется поляризационный связанный заряд с поверхностной плотностью . Однако понятие тока смещения применяется и к вакууму, где никаких зарядов, а следовательно, и никакого их смещения нет. Тем не менее этот термин сохранился в силу исторических традиций. Проблема поляризации вакуума не решена современной наукой до сих пор и вызывает острые дискуссии.

Если в каком-либо проводнике имеется переменный ток, то внутри проводника существует переменное электрическое поле. Поэтому внутри проводника имеются как ток проводимости, так и ток смещения, и магнитное поле проводника определяется их суммой, т.е. полным током .

В зависимости от электропроводности среды и частоты переменного тока составляющие полного тока играют различную роль. В хорошо проводящих средах (металлах) и при низких частотах плотность тока смещения мала, и она заметной роли не играет. Напротив в изоляторах и при высоких частотах ток смещения становится определяющим. В случае разомкнутого контура обрывается лишь ток проводимости, который замыкается током смещения. Это означает, что в природе все электрические токи замкнуты. Этот важный вывод также был получен Максвеллом.

Уравнение (19) выражает теорему Гаусса для электрического поля: Поток вектора  индукции электрического поля  сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью. Оно отражает тот факт, что линии индукции электрического поля начинаются и кончаются на зарядах.

Уравнения Максвелла не образуют полной замкнутой системы. Поэтому они не позволяют рассчитывать электромагнитные процессы в среде. Их необходимо дополнить материальными уравнениями, связывающими векторы . Эти уравнения имеют вид

, , ,

где  и  – диэлектрическая и магнитная проницаемости среды соответственно; соотношение  выражает закон Ома в дифференциальной форме; – удельный коэффициент электропроводности вещества.

Материальные уравнения описывают электромагнитные свойства среды и для каждой конкретной среды имеют вполне определенную форму. Совокупность уравнений Максвелла и материальных уравнений позволяет рассчитывать любые электромагнитные процессы в любых средах. Диэлектрическая проницаемость среды (), характеризует поляризацию диэлектриков под действием электрического поля . Диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз сила взаимодействия двух свободных зарядов в диэлектрике меньше, чем в вакууме (  для вакуума). Ослабление взаимодействия связано с экранизацией свободных зарядов связанными, которые образуются в результате поляризации среды (смещения связанных положительных зарядов по направлению внешнего поля под действием силы  и отрицательных зарядов против поля). Магнитная проницаемость  – это физическая величина, характеризующая изменение магнитной индукции  среды при воздействии внешнего магнитного поля напряженностью  (). Для вакуума магнитная проницаемость равна единице (). Электромагнитное поле проявляется по его действию на заряженные частицы; сила, действующая со стороны электромагнитного поля на движущийся со скоростью  электрический заряд , определяется силой Лоренца:

Зная силу, начальные условия и массу частицы, можно определить характер ее движения. Поэтому формула силы Лоренца также относится к основным уравнениям электро-динамики. Из уравнений Максвелла для циркуляции  и  следует, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые: изменение во времени одного из этих полей приводит к появлению другого и наоборот. Поэтому электрическое и магнитное поля можно рассматривать как компоненты единого электромагнитного поля.

Если электрические и магнитные поля стационарны (  и ), то уравнения Максвелла распадаются на две группы независимых уравнений:

I	,	.
II	,	.

В этом случае электрическое и магнитное поля независимы друг от друга, и это позволило изучать отдельно постоянное электрическое поле, а затем независимо от него и постоянное магнитное поле.

Уравнения Максвелла несимметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных. Однако для нейтральной однородной непроводящей среды, где  и , уравнения Максвелла приобретают симметричный вид, т.е.  так связано с , как  с .   

Симметрия уравнений относительно электрического и магнитного полей не распрос-траняется лишь на знак перед производными  и . Различие в знаках означает, что линии вихревого электрического поля, индуцированного изменением поля , образуют с вектором  левовинтовую систему, в то время как линии магнитного поля, индуцируемого изменением , образуют с вектором  правовинтовую систему (рисунок 11).

                                                                 

 

 

                                                                             

Рисунок 11

 

Оба поля, магнитное и электрическое, имеют чисто вихревой характер: силовые линии замкнуты и притом взаимно переплетены, электрические линии оборачиваются около магнитных, а магнитные – около электрических. Схематично электромагнитное поле можно представить в виде цепочки колец – чередующихся замкнутых магнитных и электрических силовых линий (рисунок 12).

Рисунок 12

 

Источником такого электромагнитного поля может быть антенна передатчика, непрерывно питаемая переменным напряжением.

Колебания и волны в природе

 

Колебания. Колебаниями, или колебательными движениями, являются движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебательные движения свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звезд, с высокой степенью периодичности вращаются планеты вокруг Солнца, а движение Луны периодически вызывает приливы и отливы на Земле; под действием ветра возбуждаются колебания и волны на поверхности водоемов, механические колебания различных маятников (пружинного и математического), колебания струны, вибрации фундаментов, электромагнитные колебания и другие. Внутри любого живого организма непрерывно протекают самые разнообразные циклические процессы: биохимические реакции, ритмическое биение сердца, колебательный характер биополей и т.д.

В физике выделяются колебания механические, электромагнитные и их комбинации. Все эти разнообразные по своей физической природе колебания подчиняются общим закономерностям, что позволяет описывать их единым образом с помощью однотипных математических методов. Основным математическим аппаратом теории колебаний служат дифференциальные уравнения.

Колебания удобно классифицировать по способу их возбуждения или по характеру изменения во времени определяющих параметров колебательной системы. По способу возбуждения различают: колебания собственные (свободные), вынужденные и парамет-рические. С точки зрения кинематики, различают периодические и непериодические колебания.

Механические колебания происходят под действием упругой или квазиупругой силы. Силы называются квазиупругими, если их действие приводит к таким же процессам, что и упругие силы. Примером квазиупругой силы в теории колебаний является сила тяжести.

Среди периодических колебаний важную роль играют гармонические колебания (гармонический осциллятор). Простейшим примером гармонического осциллятора служит пружинный маятник, колеблющийся под действием упругой силы Гука (), направленной против смещения  в сторону положения равновесия.

В природе и во многих технических устройствах часто возникают движения, почти не отличающиеся от гармонических колебаний. Гармоническое приближение лежит в основе описания колебаний атомов, ионов в узлах кристаллической решетки твердых тел. В случае гармонических колебаний любой природы характеризующая систему величина  изменяется со временем по закону синуса или косинуса. , где  –амплитуда колебаний,  – называется фазой, а – начальной фазой. Под функцией  следует понимать величину, которая определяется природой колебания. Для механических колебаний – это отклонение  колебательной системы из положения равновесия. В случае электромагнитных колебаний это могут быть заряд (), сила тока (), напряжение (). Гармонические колебания, возникающие в пружинном маятнике под действием упругой силы, показаны на рисунке 13.

В случае гармонических колебаний ,  и  не зависят от времени. Время одного полного колебания называется периодом . Величину, обратную периоду и равную числу колебаний в единицу времени, называют частотой: . Применяется также круговая, или циклическая, частота .

В теории колебаний широко распространена комплексная запись гармонических колебаний

                                                    , 

где  – основание натурального логарифма,  – мнимая единица (). Комплексная запись колебаний очень удобна при расчетах, однако физический смысл имеют только вещественная и мнимая части. Переход от мнимой записи к вещественной осуществляется с помощью формулы Эйлера 

.

При сложении двух гармонических колебаний одинакового направления с близкими частотами наблюдается периодическое изменение амплитуды результирующего колеба-ния, получившего название биения (рисунок 14).

Рисунок 13	Рисунок 14

 

Колебательная система обладает энергией, которую в обобщенном виде можно записать так:

,                                                                 

где величина  равна коэффициенту упругости () в случае механических колебаний, емкость конденсатора  для колебаний напряжения,  – для колебаний заряда () в колебательном контуре и индуктивности () для колебаний силы тока ().

Колебания любой физической природы всегда связаны с периодическим превраще-нием энергии одного вида в энергию другого вида. Так, при отклонении математического маятника (грузика на нити) от положения равновесия, потенциальная энергия груза увеличивается на величину  из-за поднятия груза массой  на высоту . Если груз отпустить, он будет падать в сторону положения равновесия, в котором потенциальная энергия полностью превращается в кинетическую. Груз по инерции проскакивает положение равновесия и будет двигаться в противоположную сторону, увеличивая свою потенциальную энергию. В верхней точке потенциальная энергия будет максимальной, а кинетическая равна нулю. Далее процесс повторяется.     

Аналогичные периодические процессы наблюдаются для электромагнитных колебаний в колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности. В этом случае потенциальная энергия электрического поля конденсатора  переходит в кинетическую энергию магнитного поля катушки индуктивности  и наоборот. Колебания могут быть свободными, затухающими и вынужденными.

Свободное колебание является движением, предоставленным самому себе, в отсутствии внешних воздействий. В реальных системах свободные колебания будут затухать из-за диссипации (рассеяния) энергии (рисунок 15).

 

Рисунок 15

 

Процесс затухания характеризуется логарифмическим декрементом затухания , который представляет собой логарифм отношения амплитуд колебаний, отстоящих друг от друга на период:

.

Вынужденные колебания происходят путем внешнего воздействия на колебательную систему (раскачивание маятника периодическими толчками, включение периодической ЭДС в колебательном контуре). При вынужденных колебаниях может наблюдаться явление резонанса, состоящее в резком увеличении амплитуды колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с некоторой резонансной частотой, характеризующей колебательную систему. Если колебательная система линейна и потерями энергии можно пренебречь, то резонансные частоты совпадают с частотами ее собственных колебаний. На рисунке 16 приведены резонансные кривые для амплитуд при различных коэффициентах сопротивления ().

Рисунок 16  

 

Волны. Волновым процессом называют процесс распространения колебаний. Возникают волны тогда, когда изменение состояния величины в какой-либо точке оказывает влияние на состояние этой величины в соседних точках. Так, например, если между частицами какой-либо среды существует упругая связь, то смещение частицы вызовет (вследствие упругой связи) перемещение соседних частиц этой среды. В свою очередь, перемещение этих соседних частиц вызовет перемещение следующих и т.д. Если какая-либо точка этой среды начнет совершать колебательное движение, то другие точки этой среды также придут в состояние колебательного движения, и в среде будут распространяться упругие волны. При достаточно малых деформациях все тела практически можно считать упругими, а следовательно, в этих телах могут распространяться упругие волны. Упругие свойства тел зависят от характера теплового движения молекул и сил их взаимодействия. Например, вещество в газообразном состоянии свободно изменяет свою форму в соответствии с формой занимаемого им сосуда – газ не обладает упругостью формы.
В то же время газу присуща объемная упругость, т.е. способность сопротивляться изменению своего объема. Это свойство газа обусловлено тепловым движением его молекул и проявляется в изменении давления газа  при изменении его объема . По закону Гука для объемной деформации изменения давления dP газа при малом изменении dV его объема прямо пропорционально относительной объемной деформации

,

где  – модуль объемной упругости газа.

Для идеального газа значение К зависит от вида термодинамического процесса сжатия газа. При очень медленном изменении объема газа процесс можно считать изотермическим и , а при очень быстром – адиабатическим и , где   – показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей, при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме .

Упругость кристаллического твердого тела обусловлена силами взаимодействия (притяжения и отталкивания) частиц (ионов, атомов или молекул), образующих твердое тело и совершающих хаотические тепловые движения около узлов кристаллической решетки. Силы взаимодействия частиц препятствуют деформациям кристаллической решетки.

Упругость жидкостей также обусловлена силами межмолекулярного взаимодействия. Однако вследствие того, что средняя продолжительность  оседлого существования молекул жидкости очень мала, жидкости, подобно газам, обладают только объемной упругостью.

Распространение упругих волн может происходить только в среде, и оно не связано с переносом вещества, некоторый перенос вещества может осуществляться при распространении в среде сильных возмущений (например, ударных волн, возникающих при взрыве), когда колебания частиц становятся нелинейными.

В неограниченной среде процесс распространения упругих волн состоит в вовлечении в вынужденные колебания все более и более удаленных от источника волн частей среды. При этом можно отвлечься от дискретного строения вещества и рассматривать его как сплошную среду, непрерывно распределенную в пространстве. Под частицей такой среды понимают малый элемент ее объема, размеры которого, однако, во много раз больше межмолекулярных расстояний. Упругая волна называется поперечной, если частицы среды колеблются, оставаясь в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны (рисунок 17).

Рисунок 17

Поперечные волны связаны с деформацией сдвига упругой среды и, следовательно, могут образовываться и распространяться только в средах, обладающих упругостью формы, т.е. в твердых телах. Примером поперечных волн могут служить волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных инструментов и электромагнитные волны.

Упругая волна является продольной, если частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Продольные волны связаны с объемной деформацией упругой среды и поэтому могут распространяться в любой среде – твердой, жидкой и газообразной. Для продольных волн наблюдается чередование сжатий и разрежений в направлении распространения волны. Примером таких волн являются звуковые волны в воздухе и волны сжатия, распространяющиеся вдоль пружины под действием периодически изменяющейся силы  (рисунок 18).

 

 

Рисунок 18

 

Уравнение волны. Уравнением волны называется зависимость от координат и време-ни скалярных или векторных величин, характеризующих колебания среды при прохождении в ней рассматриваемой волны. Например, для волн в твердой среде такой величиной может служить вектор смещения частицы среды из положения равновесия . Для характеристики продольных волн в газе или жидкости обычно пользуются избыточным давлением () колеблющейся среды, равным разности между ее переменным и равновесным давлениями. В электромагнитных волнах характеристиками являются векторы  и  или  и . Если скорость распространения колебаний в среде  и колебания распространяются от О к точке А по оси , то фаза колебания, имеющая место в данный момент времени   в точке О, установится в точке А спустя промежуток времени . В случае изотропной среды возмущения распространяются по всем направлениям с одинаковой скоростью.

Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокуп-ность плоскостей, параллельных друг другу. В плоской волне, распространяющейся вдоль оси ОХ, все величины S, характеризующие колебательное движение среды, зависят от времени  и координаты  рассматриваемой точки среды.

Колебания в точке А отличаются от колебаний в точке О только тем, что они сдвинуты по времени на . Поэтому в плоской волне, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ, S является функцией разности , т.е.

.

Чтобы получить уравнение волны, необходимо продифференцировать функцию S дважды, по времени  и координате .                                                                

и

Объединяя эти уравнения, получим дифференциальное уравнение волны для одномерного движения:

Если волна распространяется во всех направлениях, то волновое движение описывается уравнением

,                                              (20)

где  – оператор Лапласа . Заметим, что , ,   – символы частных производных от функции .

Решением уравнения (20) является волновая функция вида

,

где   – волновой вектор, направленный вдоль скорости распространения волны;
 – единичный вектор;  – длина волны (); – период колебаний.

Функция записана в комплексной форме: переход от нее к действительным функциям приводит к решениям:

или

.

Волна, возбуждаемая гармоническим источником, называется монохроматической ().

Выражение  называется фазой волны. Поверхность, окружающая источ-ник колебаний, все точки которой колеблются в одинаковой фазе, называется фронтом волны. Разность фаз в двух точках  и  равна . В точках, отстоящих друг от друга на целое число , т.е. , разность фаз составляет четное число , т.е. колебания в этих точках протекают в одинаковой фазе – синфазно. В точках, отстоящих друг от друга на нечетное число полуволн, т.е. для которых , разность фаз равна нечетному числу . Колебания в таких точках про-текают в противофазе, если в точке  амплитуда А, то в точке  амплитуда будет - А и наоборот. Распространение волн всегда сопровождается переносом энергии. Интенсивность переносимой энергии пропорциональна квадрату амплитуды (). Распространение фронта волны можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса. Согласно этому принципу каждая точка фронта волны в момент времени  является источником вторичных волн. Огибающая вторичных волн дает фронт волны в момент времени . Вторичные волны когерентны, это означает что их разность фаз либо равна нулю, либо постоянна (рису-
нок 19).

 

 

Рисунок 19

 

Эффект Доплера. До сих пор предполагалось, что источник волны и приемник (наблюдатель), оба покоятся по отношению к среде, в которой распространяется волна. Пусть частота, регистрируемая приемником, будет . Своеобразные эффекты наблю-даются в том случае, когда источник или наблюдатель, или, тем более, оба вместе дви-жутся по отношению к среде. Они заключаются в том, что при движении приемника или источника волны наблюдатель измерит частоту , отличную от . Зависимость частоты (длины волны ) волнового возмущения от относительного движения источника и наб-людателя называется эффектом Доплера, который впервые исследовал это явление в 1842 году. Эффект Доплера имеет место для волн любой природы. Хорошо известным проявлением эффекта Доплера для звуковых волн является изменение тона звукового сигнала приближающегося и удаляющегося поезда. При приближении поезда неподвижный наблюдатель на перроне слышит звук с частотой  выше , а при удалении поезда частота сигнала ниже . Высота тона меняется скачком, когда поезд проносится мимо наблюдателя.

При рассмотрении эффекта Доплера следует исходить из того обстоятельства, что волна, вышедшая из источника, распространяется совершенно независимо от движения источника и наблюдателя. Рассмотрим случай, когда источник движется к наблюдателю со скоростью . В системе координат, связанной с источником, частота волнового движения равна , поэтому за время  источник должен послать  число колебаний. Колебания, испускаемые источником в момент времени , пройдут за время  расстояние , где   – скорость распространения волны в данной среде. Когда источник испустит последнее из  колебаний, он сам пройдет путь . Следовательно,  колебаний укладываются на ра