Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вычисление потенциала векторного поля.
Так как в потенциальном поле (выполнение условий (2.5)) криволинейный интеграл второго рода не зависит от формы пути интегрирования, то в качестве кривой L, вдоль которой будем вычислять криволинейный интеграл, возьмем ломаную линию, звенья которой параллельны осям координат. Зафиксируем начальную точку A ( ) и соединим ее ломаной линией с текущей точкой B (x, y, z). Рассмотрим данный способ нахождения потенциала векторного поля на примере. Пример: вычислить потенциальную функцию векторного поля Начнем решение задачи с проверки условий (2.5) потенциальности заданного векторного поля.
Тогда потенциальная функция где Рассмотрим интегралы вдоль каждого отрезка ломаной линии. В данном примере в качестве начальной точки A ( ) было взято начало координат A (0,0,0). Если же функции P (x, y, z), Q (x, y, z), и R (x, y, z) в начале координат не существуют, то обычно, в качестве начальной, берут точку с координатами A (1,1,1), либо любую другую. Второй способ вычисления функции : (2.6) Для данной задачи найдем потенциальную функцию, используя формулу (2.6):
После окончательного решения задачи всегда следует делать проверку. Пример: вычислить потенциальную функцию векторного поля двумя способами. Проверим потенциальность векторного поля: Условия (2.5) выполнены, следовательно, заданное поле потенциально.
U(x,y,z) = Z²∙(ln x + ln y – (x/y)) + 1 2 способ вычисления потенциальной функции в соответствии с формулой (2.6):
Проверим полученную потенциальную функцию: Ответ: Пример: вычислить потенциальную функцию плоского векторного поля двумя способами.
Проверка условий потенциальности векторного поля.
Следовательно, поле потенциально. 1-ый способ нахождения потенциальной функции. Т.к. криволинейный интеграл 2-ого рода не зависит от формы пути интегрирования, примем за путь интегрирования ломаную линию АСВ, где линия АС параллельна оси ОХ, линия СВ параллельна оси ОУ. Т.к. функции P (x, y) и Q (x, y) не существуют в начале координат, то за начальную точку выберем точку с координатами (1,1).
2-ой способ (формула (2.6)) Оператор Гамильтона Многие операции векторного анализа могут быть записаны в сокращенной и удобной для расчетов форме путем введения символического дифференцирующего вектора набла , называемого оператором Гамильтона.
Ротором вектора и их первые частные производные непрерывны в некоторой области 3-х мерного пространства, называется вектор, получаемый в результате векторного произведения символического вектора и вектора .
(2.7)
Если , то векторное поле потенциально, т.к. если координаты вектора равны нулю, то мы получаем условия потенциальности векторного поля (2.5). Потому в задачах на нахождение потенциальной функции при проверке условий потенциальности векторного поля можно использовать либо условия потенциальности (2.5), либо вычислять . Пример: вычислить потенциальную функцию плоского векторного поля Решение начнем с нахождения .
Следовательно, поле является потенциальным. Найдем потенциальную функцию, используя формулу (2.6):
Проверка:
Кроме ротора векторного поля с помощью символического вектора набла можно найти градиент скалярной функции , путем простого умножения вектора набла на скалярную функцию (2.8) Скалярное произведение вектора и вектора векторного поля называется дивергенцией векторного поля. Дивергенция – величина скалярная и вычисляется следующим образом: (2.9) Формула Грина. Для достаточно общего вида плоских областей D с положительно ориентированной границей Г справедлива формула Грина: (2.10) Формула Грина позволяет вычислить криволинейный интеграл второго рода по замкнутой линии Г, т.е. циркуляцию через двойной интеграл по области D, ограниченной этой кривой линией.
Пример: вычислить циркуляцию вектора по окружности Циркуляция данного вектора равна:
Находим частные производные: Тогда по формуле Грина (2.10): Т.к. кривая L является окружностью, то при вычислении двойного интеграла используем полярную систему координат: Тогда
Пример: пользуясь формулой Грина, вычислить линейный интеграл в векторном поле где L - верхняя часть полуокружности направление обхода контура от точки A (2;0) до точки О(0;0)
Уравнение окружности: или т.е. центр окружности рис. 2.4 сдвинут по оси Ох вправо на одну единицу. Дополним дугу полуокружности отрезком прямой ОА. Кривая ОАО – становится замкнутой. Тогда по формуле Грина (2.10):
По свойству двойного интеграла полученный интеграл равен площади области D, а радиус полуокружности R=1. Интеграл вдоль прямой ОА равен нулю (на ОА у=0; dy=0), следовательно, окончательный ответ - линейный интеграл равен .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-12; просмотров: 264; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.28.237 (0.023 с.) |