Используя разложение по квантовым числам связанных состояний (H)

Φ ′

(z | X) = ∑ H ∫

D 3 P

(2 π) 3/2 √ 2 ω H ∫ d 4 q

(2 π) 4 ×

(В.22)

(e ı P · X Φ H (q ⊥ | P) a +

ЧАС

(y) + e −ı P · X ¯ Φ H (q ⊥ | − P) a -

H (y)),

Где

Φ H (ab) (q ⊥ | P) = G Σ a (q + P / 2) Γ H (ab) (q ⊥ | P),

(В.23)

Мы можем записать матричные элементы W (n) (B.10) для взаимодействия между

вакуум и n-связанное состояние [ 4]

〈 H 1 P 1,..., H n P n | ı W (n) | 0 〉 =

= −ı (2 π) 4 δ 4 (n

∑

я = 1

P i) n

∏

j = 1 [

1

(2 π) 3 2 ω j ] 1/2

M (n) (P 1,..., P n), (В.24)

M

(п)

= ∫

ı d 4 q

(2 π) 4 п

{я к }

Φ

А 1, а 2

H i1 (q | P i 1) ×

Φ

А 2, а 3

H i2 (q -

П я 1 + П я 2

2

| P i 2) Φ

А 3, а 4

H i3

(q - 2P i 2 + P i 1 + P i 3

2

| P i 3) ×

... Φ

А н, а 1

H в

(q - 2 (P i 2 +... + P i n − 1) + P i 1 + P i n

2

| P i n), (В.25)

где {i k } обозначает перестановки над i k).

Выражения (B.16) и (B.25) представляют правила Фейнмана для кон-

Построение квантовой теории поля с действием (Б.10) в терминах

Билокальные поля.

Стр. Решебника 414

B. Приложение 414

B.2 Уравнения Бете - Солпитера

Уравнения для спектра связанных состояний (Б.13) можно переписать

в виде формулы Бете - Солпитера (БС) [ 5, 6]

Γ = ı K (x, y) ∫ d 4 z 1 d 4 z 2 G Σ (x - z 1) Γ (z 1, z 2) G Σ (z 2 - y). (В.26)

В импульсном пространстве с

Γ (q | P) = ∫ d

4

xd

4

вы

ı x + y

2 P e ı (x − y) q Γ (x, y)

Ядро кулоновского типа получаем следующее уравнение для вершины

функция (Γ):

Γ (k, P) =

(В.27)

= ı∫

Г 4 кв

(2 π) 4

V (к ⊥ - q ⊥

) / ℓ [G Σ (q + P2) Γ (q | P) G Σ (q - P2)] / ℓ

где V (k ⊥) означает преобразование Фурье потенциала,

k ⊥ µ = k µ - ℓ µ (k · ℓ)

- относительный импульс, трансверсальный относительно ℓ µ, а P µ -

Общий импульс.

Величина Γ зависит только от поперечного импульса

Γ (k | P) = Γ (k

⊥ | P),

из-за мгновенного вида потенциала V (k ⊥) в любой системе отсчета.

Уравнение Бете - Солпитера (B.26) для потенциала, не зависящего от

Продольный импульс позволяет производить интегрирование по нему, которое при

Стр. Решебника 415

Б. Квантовая теория поля для связанных состояний

415

Система покоя равна q 0

Мы рассматриваем уравнение Бете - Солпитера.

Ции (B.27) после интегрирования по продольному импульсу. Вер-

Функция tex принимает вид

Γ ab (k ⊥ | P) = ∫

d 3 q ⊥

(2 π) 3

V (k ⊥ - q ⊥) / ℓΨ ab (q ⊥) / ℓ,

(В.28)

где волновая функция связанного состояния Ψ ab определяется выражением

Ψ ab (q ⊥) =

(В.29)

= / ℓ [

¯ Λ (+) a (q ⊥ Γ ab (q ⊥ | P) Λ (-) b

(д ⊥)

E T -

√

P 2 + ıǫ

+

¯ Λ

(-) а

(q ⊥ Γ ab (q ⊥ | P) Λ (+) b (q ⊥)

E T + √ P 2 - ıǫ

] / ℓ.

Здесь сумма одночастичных энергий двух частиц (а) и (б)

E T = E a + E b

Определяется формулой (10.27) и обозначениями (10.26)

¯ Λ

(±)

(q ⊥) = S − 1 (q ⊥) Λ (±)

(0) S (q ⊥) = Λ (±) (− q

⊥).

(В.30)

Был введен.

Действуя операторами (B.30) над уравнением (B.28), получаем

уравнения для волновой функции ψ в произвольной движущейся системе отсчета

(E T (k ⊥

) ∓

√

П 2) Λ

(ℓ)

(±) а

(k ⊥) Ψ ab (k ⊥) Λ

(ℓ)

(∓) b (− k

⊥) =

(В.31)

= Λ

(ℓ)

(±) а

(k ⊥

) ∫

d 3 q ⊥

(2 π) 3

V (k ⊥ - q ⊥) Ψ ab (q ⊥)] Λ

(ℓ)

(∓) b (− k

⊥).

Этот интеграл имеет полюса произведения двух функций Грина партонов-кварков (или лептонов

В QED)

я

2 π ∫

Dq 0

1

(q 0 - а - ıε) (q 0 + b + ıε)

Знак равно

1

а + б

.

Стр. Решебника 416

B. Приложение 416

Все эти уравнения (B.28) и (B.31) были выведены без каких-либо

предположение о малости относительного импульса | k ⊥ | и для

Произвольный полный импульс

P µ = (√ M 2

A + P 2, y = 0).

(В.32)

Разложим функцию на операторы проектирования

Ψ = Ψ + + Ψ -

,

Ψ ±

= Λ

(ℓ)

±

ΨΛ

(ℓ)

∓

.

(В.33)

Согласно формуле. (B.29), удовлетворяет тождествам

Λ

(ℓ)

+ ΨΛ

(ℓ)

+ = Λ

(ℓ)

-

ΨΛ

(ℓ)

- ≡ 0,

(В.34)

Позволяющие однозначно разложить по терминам

структур Лоренца:

Ψ a, b ±

= S − 1

a (γ 5 L a, b ±

(q ⊥) + (γ µ - ℓ µ ℓ) N

µ

а, Ь ±) Λ (ℓ)

∓

(0) S − 1

б

, (Б.35)

Где

L ±

= L 1 ± L 2,

N ±

= N 1 ± N 2.

В остальной системе отсчета ℓ µ = (1,0,0,0) получаем

N

µ

= (0, N

я

);

N

я

(q) = ∑

а = 1,2

N α (q) e

я

α (q) + Σ (q) q

я

.

Волновые функции L, N α, Σ удовлетворяют следующим уравнениям.

Псевдоскалярные частицы.

M L

0

L 2 (p) = E

0

L 1 (п) - ∫

Г 3 д

(2 π) 3 V (p - q) (c

− p c − q - ξ s − p s − q)

0

L 1 (q);

Стр. Решебника 417

Б. Квантовая теория поля для связанных состояний

417

M L

0

L 1 (p) = E

0

L 2 (п) - ∫

Г 3 д

(2 π) 3 V (p - q) (c

+

P c

+

q - ξ s +

P s

+

Q)

0

L 2 (q).

Здесь во всех уравнениях используются следующие определения

E (p) = E a (p) + E b (p),

(В.36)

c ± p = cos [v a (p) ± v b (p)],

(В.37)

s ± p = sin [v a (p) ± v b (p)],

(В.38)

ξ = p i · q i,

(В.39)

Где E a, E b - одночастичные энергии, а v a, v b - энергия Фолди - Ваутуи.

Sen углы частиц (a, b), определяемые уравнениями. (10.27) и (10.28).

Векторные частицы.

M N

0

№ 2

α = E

0

№ 1

α -

−∫

Г 3 д

(2 π) 3 V (p − q) {(c

− p c − q δ

αβ

+ s − p s − q (δ

αβ

ξ − η α η β))

0

N

β

1 + (η α

c − p c

+

Q)

0

Σ 1 };

M N

0

№ 1

α = E

0

№ 2

α -

−∫

Г 3 д

(2 π) 3 V (p − q) {(c +

P c

+

q δ

αβ

+ s +

P s

+

q (δ

αβ

ξ − η α η β))

0

N

β

2 + (η α

c

+

p c − q)

0

Σ 2 }.

η α = q i ê α

Я (р),

η

α

= p i ê

α

я (д),

δ

αβ

= ê α

я (q) ê

β

я

(п).

Скалярные частицы.

Стр. Решебника 418

B. Приложение 418

M Σ

0

Σ 2 = E

0

Σ 1 -

−∫

Г 3 д

(2 π) 3 V (p - q) {(ξ c

+

P c

+

q + s

+

P s

+

Q)

0

Σ 1 + (η

β

c − p c

+

Q)

0

№ 1

β };

M Σ

0

Σ 1 = E

0

Σ 2 -

−∫

Г 3 д

(2 π) 3 V (p - q) {(ξ c

− p c − q + s − p s − q)

0

Σ 2 + (η β

c

+

p c − q)

0

№ 2

β

}.

Нормировка этих решений однозначно определяется уравнением

Ция (B.21)

N c

M L ∫ d 3 q

(2 π) 3 {L 1 (q) L ∗ 2 (q) + L 2 (q) L ∗ 1

(q)} = 1,

(В.40)

N c

M N ∫ d 3 q

(2 π) 3 {N

µ

1 (q) N µ ∗

2 (q) + N

µ

2 (q) N µ ∗

1 (q)} = 1,

(В.41)

N c

М Σ ∫ d 3 q

(2 π) 3 { Σ 1 (q) Σ ∗ 2 (q) + Σ 2 (q) Σ ∗ 1

(q)} = 1.

(В.42)

Если атом покоится (P µ = (M A, 0,0,0)), уравнение (B.31) совпадает

с уравнением Солпитера [6 ]. Если предположить, что текущая масса m 0

Намного больше относительного импульса, то связанные уравнения

(B.28) и (B.31) превращаются в уравнение Шредингера. В остальном кадре

(P 0 = M A) уравнение (10.27) для большой массы (m 0 / | q ⊥ | → ∞) описывает

Нерелятивистская частица

E a (k) = √ (m 0

а) 2 + к 2 ≃ м 0

а +

1

2

K 2

М 0

а

,

загар 2 υ =

k

m 0 → 0;

S (k) ≃ 1;

Λ (±) ≃

1 ± γ 0

2

.

Тогда в уравнении (B.31) остается только состояние с положительной энергией.

Ψ

αβ

П ≃ Ψ

αβ

(+)

= [ Λ (+) γ 5 ] αβ √ 4 µ ψ Sch,

Λ (-)

Ψ

αβ

п

Λ (+) ≃ 0, (Б.43)

Стр. Решебника 419

Б. Квантовая теория поля для связанных состояний

419

Где

µ ≡

м а · м б

(м а + м б)

.

И, наконец, уравнение Шредингера приводит к

[12мкк − 2 + (м 0

а + м 0

b - M A)] ψ Sch (k) =

(В.44)

= ∫

Г 3 д

(2 π) 3 V (k - q) ψ Sch (q),

С нормализацией

1

(2 π) 3 ∫ d 3

q | ψ Sch | 2

= 1.

Для произвольного полного импульса P µ (B.32) уравнение (B.44) принимает

Форма

[- 12µ (k ⊥ν) − 2 + (m

0

а + м

0

Б -

√

P 2)] ψ Sch (k ⊥) =

(В.45)

= ∫

d 3 q ⊥

(2 π) 3

V (k ⊥ - q ⊥) ψ Sch (q ⊥),

Где

k ⊥ µ = k µ -

Pk

M 2

ЧАС

P µ,