Производные функций нескольких переменных

Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение D х к переменной х. Тогда величина D _x z = f (x + D x, y) – f (x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать

.

Тогда  называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначается:

       Аналогично определяется частная производная функции по у.

 

Пример 1. Найти частные производные функции .

, .

Пример 2. Найдем частные производные функции :

.

Полное приращение и полный дифференциал

Выражение  называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a₁ и a₂ – бесконечно малые функции при D х ® 0 и D у ® 0 соответственно.

           

Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно D х и D у приращения функции D z в точке (х, у).

Для функции произвольного числа переменных:

 

 

Пример 3. Найти полный дифференциал функции .

 

 

Пример 4. Найти полный дифференциал функции

 

 

 Практическое занятие №24

Наименование занятия: Вычисление двойных интегралов

Цель занятия: Научиться вычислять двойные интегралы. Формировать ОК-2, ОК-5.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных».

Литература:

Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие:

1. Вычислить двойные интегралы по указанным прямоугольникам D:

 

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4

1. Вычислить двойные интегралы по областям G, ограниченным линиями

 

	1	2	3
Вариант 1	G: x = 0, y = 0, x + y = 2	G: x = 1, y = х ^2, y =	G: x = 1, y = - х ^3, y =
Вариант 2	G: y = 0, y = x, х = 1	G: x = 1, y = - х ^2, y =	G: x = 1, y = х ^3, y =
Вариант 3	G: y = x ^2, y ^2 = x	G: x = 1, y = х ^3, y =	G: x = 1, y = - х ^2, y =
Вариант 4	G: y = х ^3, x = 0, x + y = 2	G: x = 1, y = - х ^3, y =	G: x = 1, y = х ^2, y =
Вариант 5	G:   y = 0, y = cos x, y = x + 1	G: x = 1, y = х ^2, y =	G: x = 1, y = - х ^2, y =

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Записать формулы вычисления двойного интеграла в случае прямоугольной области.
2. Как вычислить двойной интеграл в случае криволинейной области?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Двойные интегралы

 

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой f(x, y) = 0.

 

                                          y

                                            0                                    x

 

Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называться незамкнутой область ю D.

С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние D х _i, а по оси у – на D у _i. Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S_i = D x_i × D y_i.

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х _i, y_i) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

Если бесконечно увеличивать количество частичных областей D _i, тогда площадь каждого частичного участка S_i стремится к нулю.

Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы  имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

С учетом того, что S_i = D x_i × D y_i получаем: