Интегрирование выражений содержащих квадратный трехчлен.

Среди интегралов, вычисляемых методом непосредственного интегрирования, рассматривают интегралы содержащие квадратный трехчлен, то есть интегралы вида:

1) ;

2) .

Правило вычисление интегралов вида 1)  :

1) Выделить полного квадрат  в знаменателе:

:

;

2) Свести преобразованный интеграл к одному из табличных интегралов 11-14,учитывая,что  .

Рассмотрим, как это сделать на примерах.

Пример 2.5. Вычислить интеграл: а) ;

б) ; в)

Решение.

а) Выделяя полный квадрат, в знаменателе  и применяя (в таблице основных интегралов) формулу 14,учитывая,что   имеем:

;

б)Выделяя полный квадрат, в знаменателе и применяя (в таблице основных интегралов) формулу 11, имеем: ,

в)Для того, чтобы свести данный интеграл к табличному виду  ,достаточно вынести  за знак интеграла   под корнем в знаменателе). Таким образом, получим:

.

Правило вычисления интегралов вида :

1) Находим производную знаменателя:

;

2) Строим в числителе производную знаменателя:

 

2) Разбиваем интеграл на сумму двух интегралов:

 первый из них путем внесения числителя под знак дифференциала сводится к табличному интегралу

 

, каким образом вычисляется второй интеграл мы уже знаем (см. выше). Складывая полученные при интегрировании результаты получим ответ.

Пример 2.6. Вычислить интеграл: а)  ;б) ; в) .

Решение.

а) Находим производную знаменателя:

;

В числителе строим производную знаменателя:

;

 Разбиваем преобразованный интеграл на сумму двух:

;

б) 1) Находим производную знаменателя:

2)В числителе строим производную знаменателя:

;

3) Разбиваем преобразованный интеграл на сумму двух интегралов:

 

в) Немного преобразуем подынтегральную функцию

(вынесем 2 в знаменателе за знак интеграла - 4 под корнем):

, а далее применим аналогичный алгоритм решения

 и учитывая, что  имеем:

 

.

 

2.2. Метод замены переменной (метод подстановки).

При нахождении многих интегралов оказывается эффективной следующая идея: вместо исходной переменной вводят новую переменную по формуле  или (в зависимости от вида подынтегральной функции),относительно которой исходный интеграл, являлся бы табличным или сводящимся к табличному (в случае «удачной» подстановки).Далее вычисляют этот преобразованный интеграл, а затем возвращаются к старой переменной.

Пусть требуется   вычислить интеграл  .Сделаем подстановку (замену) ,где - некоторая функция, имеющая непрерывную производную, тогда  и согласно свойству инвариантности неопределенного интеграла получим формулу интегрирования подстановкой(заменой):

Итак,  (2.1)

 Формула (2.1) так же называется формулой замены переменной.

Замечание: Если интеграл имеет вид  то целесообразнос делать подстановку

 тогда  ,отсюда

где

Запишем алгоритм действий при использовании метода замены переменной.

Алгоритм (замены переменной):

1) Связать старую переменную интегрирования  с новой переменной с помощью замены

(;

2)Найти связь между дифференциалами

 

3) Перейти к новой переменной ;

   4)Проинтегрировать и вернуться к старой переменной .

Для удобства замену далее будем писать в прямых скобках .

Пример 2.7. Вычислить интеграл: а) ;

б) в) ..

 

Решение.

а) Вводим новую переменную и избавляемся от иррациональности: , ;

 Продифференцировав обе части равенства

, получим откуда ;

 Переходим в исходном интеграле к новой переменной  , заменяем  на а на ;

 Интегрируем и возвращаемся к старой переменной.

Таким образом, получим:

б)

;

Данный пример можно решить иначе - методом подведения функции под знак дифференциала,внося  и  под знак дифференциала: 

,тогда

.

Принципиальной разницы нет, но с точки зрения оформления задания метод введения нового аргумента гораздо короче;

 

в)

 

Замечание:

1) Метод подведения функции под знак дифференциала не универсален (не всегда  работает), так как

в некоторых случаях невозможно подвести функцию под знак дифференциала или внесение функции под дифференциал не приводит исходный интеграл к табличному виду, в этом смысле метод замены предпочтительней;

2) Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается с практикой.

 

2.3. Метод интегрирование по частям.

Еще один метод сведения некоторых интегралов к табличному виду. Метод основан на известной формуле производной произведения

или в дифференциальной форме .

Проинтегрировав обе части последнего равенства, получим , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла имеем:

.

Откуда, получим формулу

(2. 2)

 

Формула (2.2) называется формулой интегрирования по частям.

Данная формула показывает, что нахождение интеграла  приводит к нахождению интеграла ,который окажется табличным или сводящимся к табличному, в отличии от интеграла .

При применении формулы интегрирования по частям используют следующее правило.

Правило интегрирования по частям: За  берем ту часть подынтегрального выражения, которая при дифференцировании упростится, за  интеграл от которой табличный или может быть приведен к табличному.

Рассмотрим   основные виды интегралов, интегрируемых по частям:

1)

2)

 Здесь – многочлен от степени ,где

 

Пример 2.8. Вычислить интеграл: а) ;

б) ;в)  г)

Решение.

а)Чтобы привести интеграл к табличному виду применяем метод интегрирование по частям.Так как  при дифференцировании упрощается,действительно    ,следовательно за  принимаем , а за  оставшуюся часть, то есть ,вычисляя и получим:

;

б)Здесь  при дифференцировании упрощается, но при этом интеграл от  не табличный, тогда:

;

в)

Замечание: Формулу интегрирования по частям можно применять неоднократно. Рассмотрим, как это сделать на следующем примере.

в) Применяя, формулу интегрирования по частям дважды, имеем:

.

Иногда повторное интегрирование по частям приводит к исходному интегралу, такие интегралы называются круговыми или циклическими интегралами.

Примерами круговых интегралов являются    интегралы  вида и так далее. Рассмотрим как они вычисляются.

 

Пример 2.9. Вычислить интеграл .

Решение.

 

.

 В результате повторного интегрирования по частям функцию не удалось привести к табличному виду. Однако последний интеграл ничем не отличается от исходного:

;

Замечание: Как мы видим вычисление интегралов требует индивидуального подхода к каждой подынтегральной функции, соответствующие навыки приобретаются в результате значительного числа упражнений.

Задания для самостоятельного решения

1. Методом разложением на алгебраическую сумму вычислить интегралы:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.

Ответы:

1.1. ; 1.2.

1.3. ; 1.4.

1.5. ; 1.6. ; 1.7.   1.8.  1.9. ; 1.10. ; 1.11. ; 1.12.   1.13. ; 1.14. ; 1.15. ; 1.16. ; 1.17.   1.18.

1.19.   1.20. ; 1.21. ; 1.22.   1.23. 1.24.   1.25. ; 1.26.

2. Методом подведением функции под знак дифференциала вычислить интегралы:

 

1.		14.
2.		15.
3.		16.
4.		17.
5.		18.
6.		19.
7.		20.
8.		21.
9.		22.
10.		23.
11.		24.
12.		25.
13.		26.

 

Ответы:

2.1. 2.2.

2.3. ; 2.4.

2.5. ; 2.6. ; 2.7.   2.8.  2.9. ; 2.10.   2.11. ; 2.12. ; 2.13. ; 2.14. ; 2.15. ;

2.16. ; 2.17. ; 2.18. ; 2.19. ;

2.20. ; 2.21. ;

2.22. ; 2.23. ; 2.24. ; 2.25. ; 2.26. .

3.Вычислить интегралы от выражений содержащих квадратный трехчлен:

1.		14.
2.		15.
3.		16.
4.		17.
5.		18.
6.		19.
7.		20.
8.		21.
9.		22.
10.		23.
11.		24.
12.		25.
13.		26.

 Ответы:

3.1. 3.2.

3.3. ; 3.4.

3.5. ; 3.6 ; 3.7. ; 3.8.  3.9. ; 3.10.   3.11. ; 3.12. ; 3.13. ;

  3.14. ; 3.15. ; 3.16. ; 3.17. ; 3.18. ; 3.19. ; 3.20.   3.21. ;

3.22. ; 3.23. ; 3.24. ; 3.25. ; 3.26. .

4.Вычислить интегралы от выражений содержащих квадратных трехчлен:

1.		14.
2.		15.
3.		16.
4.		17.
5.		18.
6.		19.
7.		20.
8.		2 1.
9.		22.
10.		23.
11.		24.
12.		25.
13.		26.

Ответы:

4.1. ; 4.2. 4.3. ; 4.4. 4.5. ; 4.6 ; 4.7. ; 4.8. ;  4.9. ; 4.10.   4.11. ; 4.12. ; 4.13. ; 4.14. ; 4.15.  4.16. ; 4.17. ; 4.18. ; 4.19. ; 4.20.   4.21. ; 4.22. ; 4.23. ; 4.24. ; 4.25. ;

4.26.

5.Найти интегралы методом замены переменной:

 

1.		14.
2.		15.
3.		16.
4.		17.
5.		18.
6.		19.
7.		20.
8.		21.
9.		22.
10.		23.
11.		24.
12.		25.
13.		26.

Ответы:

 5.1.   5.2.

5.3. ; 5.4.

5.5. ; 5.6. ; 5.7. ; 5.8.  5.9.  5.10.   5.11. ; 5.12. ; 5.13. ; 5.14. ; 5.15. ; 5.16. ; 5.17. ; 5.18. ; 5.19. ; 5.20.   5.21. ; 5.22. ; 5.23. ; 5.24. ; 5.25. ; 5.26.

6.Найти интегралы, используя формулу интегрирование по частям:

1.		14.
2.		15.
3.		16.
4.		17.
5.		18.
6.		19.
7.		20.
8.		21.
9.		22.
10.		23.
11.		24.
12.		25.
13.		26.

Ответы:

6.1. 6.2. 6.3. ; 6.4. 6.5. ; 6.6 ; 6.7. ; 6.8.  6.9.    6.10.   6.11. ; 6.12. ; 6.13. ; 6.14. ; 6.15. ; 6.16. ; 6.17. ; 6.18 ; 6.19. ; 6.20.   6.21. ; 6.22. ; 6.23. ; 6.24. ; 6.25. ;

6.26. .

 

ГЛАВА 3. Методы интегрирования различных классов функций

Рассмотрим методы интегрирования различных классов функций: дробно-рациональных, иррациональных, тригонометрических функций. Интегралы от данных функций сводятся к табличным соответствующей подстановкой для данного типа подынтегрального выражения.

3.1. Интегрирование рациональных функций.

             Дробно-рациональной функций (рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, то есть функция вида

  (3.1),

где , многочлены от переменной  степени соответственно,  -натуральные числа.

Рациональная дробь называется правильной, если и неправильной, если .

Например, дробь правильная, так как

,где , ;

 дробь  неправильная, так как  

, .

   Как мы узнаем далее всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа так называемых простейших рациональных дробей- этоправильные рациональные дроби следующих четырех типов:

1) ;2) ;3)