Уравнения баланса для комплексной мощности.

       В радиотехнике часто пользуются понятием комплексной мощности. Так, если рассматривается гармонический процесс, то комплексную мощность сторонних источников можно записать:

       Получим уравнение баланса для комплексных мощностей гармонического электромагнитного процесса. Уравнение баланса для комплексной мощности получается аналогично уравнению баланса для среднего за период значения. Удобно записать уравнение Максвелла сразу для комплексно-сопряженных величин:

(1)

       Вновь полагаем, что потери в среде обусловлены конечной проводимостью:

   

       Возьмем комплексное сопряжение от всех комплексных величин:

(2)

       Умножим скалярно правую и левую части соотношения (1) на . Получим:

  (3)

Воспользуемся векторным тождеством, из которого следует:

       Выразим из тождества :

, тогда:

Будем предполагать, что магнитные потери в среде отсутствуют, тогда . Подставим  в соотношение (3):      (4)

Проинтегрируем по объему:

        (5)

Поделим на 2 и учтем, что во втором слагаемом стоит разность энергий

               (6)

        (7)

Выражение (7) запишем в виде системы из 2-х уравнений: одно устанавливает связь между активными мощностями, другое — между реактивными.

 Получим: (8) (9)

    Как мы и ожидали, соотношение (8) совпадает с уравнением для средних за период мощностей. Из (9) следует, что реактивная мощность сторонних источников равна умноженной на 2w разности средних за период значений энергий + реактивный поток энергии, через поверхность S. Рассмотрим важное приложение к (8) и (9). Будем предполагать, что объем V, для которого составлено уравнение баланса, является изолированной системой. В этом случае комплексный поток мощности, через поверхность S, равен нулю и уравнение баланса:

(10)

       В этом случае происходит колебательный обмен энергией между электрическим и магнитным полями, т.е. один момент существует только электрическое поле, потом и то и другое, потом только магнитное и т.д. В том случае когда

(11)

мощность сторонних источников становится чисто активной:    (12)

и обмен энергиями происходит без участия сторонних источников. Если (11) не соблюдается, то для этого обмена необходимо участие сторонних источников. Изолированная система, в которой мощность сторонних источников чисто активна, т.е. выполняется равенство (11), называется резонирующей изолированной системой, а условие (11) называется условием резонанса. Для характеристики изолированной колебательной системы вводят понятие добротности.

        Под добротностью Q понимают:

 

(13)                (14)

       Средняя за период энергия электрического поля:

 

При резонансе , тогда            

       Соотношения (6), (7) были получены при условии, что . Потери в среде обусловлены конечной проводимостью

В этом случае общее выражение для баланса комплексных мощностей остается неизменным, но конкретное, аналитическое выражение для слагаемых, изменится. Мощность потерь записывается следующим образом:

       В заключение этого параграфа приведем выражение для скорости распределения энергии, записанное через комплексные амплитуды:

, где DS — поперечное сечение.

В том случае, когда составляющие неизменны, получаем: