Математические понятия. Методика введения математических понятий и пути их формирования.

Понятие – один из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и предметов математического цикла. Первостепенная задача учителя математики при изучении любой темы формирование понятийного аппарата темы.

Понятие – форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения.

Содержание понятия – это множество всех существенных признаков данного понятия. Раскрывается с помощью определения.

Объем понятия - множество объектов, к которым применимо данное понятие. Раскрывается с помощью классификации. Например: понятие треугольник соединяет в себе класс всевозможных треугольников (объем понятия). Характеристическое свойство – наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия).

Характеристические (существенные свойства) – это такие свойства, каждое из которых необходимо, а не вместо достаточного для характеристики объекта принадлежащих понятию.

Понятие: родовое и видовое. Например: Ромб – это параллелограмм, две смежные стороны, которых равны. Родовое понятие – понятие параллелограмма, видовое отличие – две смежные стороны равны.

В отношении объемов различают виды понятий: равнозначимые (совпадают), пересекающиеся, находящие (частично-пересекающиеся) в отношении включения.

Определение понятия – это предложение, в котором раскрываются содержание понятия, т.е. совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения класса объектов принадлежащих определяемому понятию.

Определения:

1. явные – содержат прямое указание на существенные признаки определяемого понятия; определяемое и определяющие в них выражены четко и однозначно. Например: «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом».

2. неявные – не содержат четкого и однозначного определяющего элемента, в них содержание определяемого может быть установлено через некоторый контекст. Н-р: «Фигура, образованная двумя прямыми, выходящими из одной точки, называются углом».

3. дескрипции – определения мат.объектов путем указания их свойств. Например: «То число, которое будучи умножено на длину диаметра дает длину окружности – дескрипция числа пи».

4. номинальные – с их помощью вводят новый термин символ выражение, как сокращенное для более сложных выражений из ранее введенных терминов или символов, или уточняется значения уже введенного термина символа.

5. реальные – с помошью реальных определений фиксируются характеристические свойства самих определяемых объектов (пятиугольник, есть плоская геометрическая фигура, ограничивающаяся 5-ю сторонами). Одно и то же определение можно представить как номинальное и как реальное (пятиугольником, называется плоская геометрическая фигура, ограниченная 5-ю сторонами).

6. контекстуальные – (часто применяются в начальных классах) – такие определения нового неизвестного термина, понятия, которые выясняются из смысла прочитанного, сводятся к указанию содержащих его контекста.

7. индуктивные – определения, которые позволяют из сходных объектов (теории) путем применения к ним конкретных операций получить новые объекты. Н-р: определение натурального числа.

8. аксиоматические – определения исходных понятий, которые даются посредством исходных понятий некоторой теории через её аксиому. Например: точка, плоскость и расстояние.

9. определение через род и видовые отличия – определения, которые можно рассматривать как частный вид номинальных определений, которые выделяются из предметов ву некоторой области, которые при этом явно упоминаются в определении (род) путем указания характеристического свойства определяемого (видовое отличие).

10. генетические - определения, в которых описываются и указываются способ его происхождения, образования, возникновения и построения. Например: «Шар – это геометрическое тело, образованное вращение полуокружности вокруг диаметра: «Сферой называется поверхность, полученная, вращением полуокружности, вокруг своего диаметра»».

11. определение через абстракцию – определения, связанные с выделением объекта через установление между ними отношений равенства, равнозначности тождества. Например: «Натуральное число n – это характеристика эквивалентных конечных множеств, состоящих из n элементов».

12. остенсивные – определения значений слов путей непосредственного показа, демонстрации предметов.

13. вербальные понятия – это понятия в которых значение неизвестных выражение определяется через выражение с известным значением.

Условие корректности определений: 1.Отсутствие прочного круга и связанного с ним возможности исключения нововведенных терминов. Пример: Решение уравнений – это то число, которое является его решением (такого не должно быть).

2. отсутствие омонимии: каждый термин встречается не более одного раза в качестве определяемого.

Формирование понятия: Формирование понятия – сложный психологический процесс, который осуществляется и протекает по схеме: ощущение -> восприятие-> представление -> понятие.

Этапы формирования понятия:

1. Мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, возбуждается интерес к изучению понятия)

2. Выявление существенных свойств понятия (выполнение упражнений, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия).

3.Формулировка определений понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию).

Методы формирования понятия:

1.Конкретно-индуктивный (учитель сам вводит понятие) – в младших классах.

2.Абстрактно- дедуктивный (частично –дедуктивный метод).

Классификация понятий – выявление объема понятий, т.е. разделение множества объектов, составляющих объём родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов.

Условия классификации понятий: 1. Классификация проводится по определённому признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации.

2. Понятия, получающиеся в результате классификации – взаимно независимые.

3. Сумма объемов понятий, получающихся при классификации, равняется объему исходного понятия.

Пример: Четырехугольник(трапеция и параллелограмм(прямоугольник(квадрат) и ромб(квадрат))).

 

15. Методика изучения теорем и их доказательств (на примере учебников геометрии)

Теорема – это мат - ое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения)

Вида формулирования теоремы

· Условная

· Категорическая

Всегда можно из одного вида формулирования теоремы перейти в другой. Если теорема сформулирована в условной форме, то в ней должно быть ясно указан при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие) и что в этом объекте утверждается (заключение теоремы).

Пример:

Теорема: В параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

            Если четырехугольник – параллелограмм, то…

Условие Р четырехугольник – параллелограмм, диагонали его пересекаются

Заключение G точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам.

Доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение, т.е., приняв, что Р истинно, соответствии с правилами вывода показать, что G истинно, и тем самым получить возможность утвердить, что данное высказывание (теорема) истинно целом.

Доказательство включает в себя три основных элемента:

Тезис (Главная цель доказательства – установить истинность тезиса). Форма выражения тезиса суждение.

Аргументы (основание) доказательства – положения на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов - суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключению, которые строятся по определенным правилам. Аргументы, на которые можно опереться при доказательстве: аксиомы, определения, ранее доказанные теоремы.

Демонстрация – логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.

При изучении теорем школьного курса математики учитель придерживается следующей последовательности:

1. Постановка вопроса (создание проблемной ситуации)

2. Обращение к опыту учащихся

3. Высказывание предположения

4. Поиск возможных путей решения

5. Доказательство найденного факта

6. Проведение доказательства в максимальной форме

7. Установление зависимости доказанной теоремы от ранее известных.

Процесс изучения школьниками теоремы включает этапы:

1. Мотивация изучения теоремы

2. Ознакомление с фактом, отраженным в теореме

3. Формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы

4. Усвоение содержания теоремы

5. Запоминание формулировки теоремы

6. Ознакомление со способом доказательства

7. Доказательство теоремы

8. Применение теоремы

9. Установление связей теоремы с ранее изученными теоремами

ИЛИ ДРУГОЙ

Этапы изучение теоремы

1. Раскрытие ее содержания (формулировка теоремы)

1. Работа над структурой
2. Построение чертежа, краткая запись содержания теоремы
3. Поиск доказательства, доказательство и ее запись
4. Закрепление теоремы
5. Применение теоремы

Методы введения теорем

Конкретно – индуктивный (в готовом виде не сообщается, проводится спец работа по проведению учащихся к теореме. Итог: формулирование изучаемой теоремы).

Абстрактно – дедуктивный (Начинается с того, что учитель сам формулирует теорему, затем проводится работа по уточнению смысла данной теоремы, ее условия, заключения, построения чертежа). Этот метод требует затрат времени нежели предыдущий.

Доказательство – рассуждения с целью обоснования личности, каких либо утверждений

Метод доказательства – способ связи аргументов при переходе от условия к заключению суждений.

2 метода доказательства:

1. По пути обоснования тезиса (прямое и косвенное)

2. По математическому аппарату, используемое в доказательстве.

К прямым приемам доказательства относят приемы:

1. Преобразования условия суждения (синтетический).

2. Преобразования заключения суждения:

· Отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ)

· Отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ).

3. Последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.

К косвенным приемам поиска доказательства относят:

1. Метод от противного (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждению).
2. Разделенный метод, или метод разделения условий (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного), иначе это метод называют методом исключения.

К методам доказательства по мат. аппарату относят:

1. Метод геом. мест
2. Алгебраический м-д
3. Векторный м-д
4. Координатный м-д

Для того чтобы учащиеся овладели прямым и косвенным доказательствами необходимо сформировать у них определенную последовательность умений

1. Искать док-во
2. Проводить док-во
3. Оформлять док-во теорем

Прямое

· Синтетическое - Исходным моментом яв-ся условие теоремы. На основе предыдущих и законов логики условие теоремы преобразуют по не приходят к заключению. Достоинства: полнота, сжатость, краткость. Минусы: мало способствует самостоятельному открытию док-ва; идея, план рассуждения остаются скрытыми от учащихся

· Аналитическое:

a) Восходящий анализ – Отталкивается от заключения теоремы и подбпраются для него достаточные условия.

b) Нисходящий анализ – Рассуждения начинаются с заключения теоремы, подбирают необходимые условия.

1. Косвенное (м-д от противного) Док – во теоремы из А следует В начинают с допущения, что из А следует В, пока не получится следствие которого противоречит условию теоремы, либо с одним из ранее изученных предложений.

В. А. Гусев предлагает следующие требования к проведению доказательств, которых надо придерживаться при доказательстве теорем.

1. Прежде всего, должно быть совершенно ясно, что дано и что требуется док-ть.

2. Очень велика роль чертежа, причем сопровождают весь ход док-ва, в динамике, а не как обычно – на одном чертеже сразу все.

3. Главное - постоянно формировать потребность у учащихся в проведении док-в, общая стратегия док-ва и любого его этапа должны быть смотивированы, обсуждены, самостоятельно осмыслены, только после этого есть смысл проведении этих док-в.

4. Все основные этапы док-ва нумеруются, при этом, во-первых, их удобно видеть, а во-вторых, на них удобно ссылаться.

5. Очень важно, что в конце каждого пункта док-ва в скобках даны основания сделанных выводов – это либо определения, либо доказанные ранее теоремы, либо ссылки на предыдущие этапы док-ва.

В учебнике Л. С. Атанасяна в основном используется прямой и косвенный виды док-ва. При док-ве сперва формулируется теорема, потом сразу док-ва. После теорем нет задач в виде закрепления.

У А. В. Погорелова после теорем нет задач для закрепления. Док-во теорем предлагается в алгоритмической деятельности, но не оговариваются. Не ясны использование свойств, аксиом, нет обоснованных выводов. Учебник Погорелова скорее рассчитан на учителя, чем на ученика, поэтому самостоятельное изучение учащимися теорем затруднительно.

В учебнике А. Н. Колмогорова рассуждения при док-ве теорем, связанные с использованием некоторых свойств, аксиом для учащихся не ясны.

В учебнике Валерия Александровича Гусева док-во приводится очень подробно, алгоритм оговаривается, каждый шаг и каждый этап подробно описан. У учащихся не возникает трудностей при самостоятельном изучении теорем. Учащиеся учатся алгоритмически думать.