Основные свойства определённого интеграла

1.   Если с — постоянное число и функция ƒ(х) интегрируема на [a;b],то

т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла.

Доказательство: Составим интегральную сумму для функции с • ƒ(х). Имеем: Тогда отсюда вытекает, что функция с • ƒ(х) интегрируема на [а; b] и справедлива формула (38.1).

 

2. Если функции ƒ1(х)иƒ2(х) интегрируемы на [а;b], тогда интегрируема на [а; b] их сумма u

т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Доказательство:

3. Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона-Лейбница.

4. Если функция ƒ(х) интегрируема на [а; b] и а < с < b, то т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности).

Доказательство: При разбиении отрезка [а;b] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка [а; b] на части). Если с = хm, то интегральную сумму можно разбить на две суммы: Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно для отрезков [а; b], [а; с]и[с; b]. Переходя к пределу в последнем равенстве при n → ∞ (λ → 0), получим равенство (38.3).

Свойство 4 справедливо при любом расположении точек а, b, с (считаем, что функция ƒ (х) интегрируема на большем из получающихся отрезков).

Так, например, если а < b < с, то Отсюда   (использованы свойства 4 и 3).

5. «Теорема о среднем». Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то существует точка с є [а; b] такая, что

Доказательство:По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

где F'(x) = ƒ(х). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим

F(b)-F(a) = F'(c)•(b-а) = ƒ(с)•(b-а).▲

Свойство 5 («теорема о среднем») при ƒ (х) ≥ 0 имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при

некотором с є (а; b), площади прямоугольника с высотой ƒ (с) и основанием b- а (см. рис. 170). Число называется средним значением функции ƒ(х) на отрезке [а; b].

6. Если функция ƒ (х) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а < b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

Доказательство:По «теореме о среднем» (свойство 5) где с є [а; b]. А так как ƒ(х) ≥ 0 для всех х є [а; b], то и

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Поэтому ƒ(с)•(b-а) ≥ 0, т. е

7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а; b], (a<b) можно интегрировать. Так, если ƒ1(x)≤ƒ2(х) при х є [а;b], то

Доказательство:Так как ƒ2(х)-ƒ1(x)≥0, то при а < b, согласно свойству 6, имеем

Или, согласно свойству 2,

Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя.

8. Оценка интеграла. Если m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = ƒ (х) на отрезке [а; b], (а < b),то

Доказательство: Так как для любого х є [а;b] имеем m≤ƒ(х)≤М, то, согласно свойству 7, имеем  Применяя к крайним интегралам свойство 5, получаем [1]

9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

Доказательство: Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам -|ƒ(х)|≤ƒ(х)≤|ƒ(х)|, получаем Отсюда следует, что

10. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т. е.

Доказательство: По формуле Ньютона-Лейбница имеем: Следовательно, Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.