Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Задача Коши для ДУ 1-го порядка состоит в следующем: из общего решения  требуется выделить такое решение  уравнения (22), которое удовлетворяет начальному условию:  где   заданная точка плоскости XOY. Условия существования и единственности решения задачи Коши сформулированы в следующей теореме.

Теорема. Если функция  определена и непрерывна в некоторой области D на плоскости XOY, а частная производная  ограничена в этой области, то каковы бы ни были числа  такие, что точка  найдётся единственная функция  являющаяся решением уравнения (22), непрерывно дифференцируемая на некотором промежутке, содержащем точку x ₀, и такая, что

Пример. Определить тип ДУ и решить задачу Коши

Решение. Для определения типа ДУ выразим из уравнения :

Внесем х под знак корня, возведя его в квадрат:

 В подкоренном выражении поделим почленно числитель на знаменатель и получим:

                                     (32)

Итак, привели уравнение к виду  По таблице ДУ (см. прил. III) определяем, что уравнение однородное и решается заменой  Сделаем замену в уравнении (32):  учтём, что

Используя формулы 12 и 4 таблицы интегралов, получаем:

Произвольную постоянную интегрирования выразили в виде  что позволяет, используя свойства логарифмов, записать общее решение
в виде:

Учитывая выполненную замену  получаем  – общее решение ДУ в неявном виде, т.е. общий интеграл.

Найдём такое решение, которое удовлетворяет начальному условию у (3) = 4. Для этого подставим в общий интеграл  и найдём значение постоянной С:

Итак, нашли значение постоянной С, при котором решение ДУ будет удовлетворять указанному начальному условию.

Решение задачи Коши запишем, подставив в общий интеграл найденное значение постоянной С:

 

 

3.6. Ломанные Эйлера и понятие о приближённом методе
решения дифференциальных уравнений

Рассмотрим ДУ , и пусть D – область определения функции , в которой выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. К одному из способов приближённого решения ДУ приводит геометрическая интерпретация уравнения.

Рис.12

А именно, построив поле направлений, мы всегда можем приближённо построить интегральную кривую. Но можно поступить иначе. Пусть точка  Проведём через эту точку прямую с угловым коэффициентом,  равным и выберем на этой прямой произвольно точку  Через эту точку М ₁ проведём прямую с угловым коэффициентом, равным и выберем на этой прямой произвольно точку и так дальше. Аналогичное построение проведём в другую сторону от точки М ₀. В результате получим ломанную линию М ₀ М ₁ М ₂… (рис. 12), каждое звено М _k-1 М _k которой совпадает с касательной к интегральной кривой в точке М _k-1, поэтому эта ломанная (она называется ломанной Эйлера) даёт приближённое представление об интегральной кривой. Это представление тем точнее, чем короче звенья ломанной. Можно показать, что в пределе, при неограниченном увеличении звеньев ломанной и уменьшении длин каждого звена, ломанная Эйлера совпадёт с интегральной кривой.