Интегрирование рациональных дробей

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1. Неопределённый интеграл, его свойства.
Таблица основных интегралов

Определение. Функция  называется первообразной для функции  на интервале , если для любого  выполняется равенство

Пример. Для функции  первообразной на множестве всех действительных чисел R =  является функция  поскольку  для любого R. Отметим, что первообразными для той же функции  являются также, например, функции  и , как и всякая другая функция, отличающаяся от указанных постоянным слагаемым.

Теорема (о первообразной для данной функции). Если   первообразная для функции , то любая другая первообразная для функции  отличается от  на некоторое постоянное слагаемое, т. е. существует постоянная С такая, что  где

Доказательство. Пусть  и   две первообразные для функции  на , т.е.  и  при любом . Рассмотрим функцию – F (x). Имеем  для любого . Отсюда, согласно известному следствию из теоремы Лагранжа, следует, что , т.е.

Следствие. Если любая первообразная для функции , то всю совокупность первообразных для этой функции определяет выражение  где

Определение. Неопределенным интегралом от функции  называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначение неопределенного интеграла:

где  При этом х называют переменной интегриро-

 

 

вания,  подынтегральной функцией, а  подынтегральным выражением.

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию. Результат интегрирования можно проверить дифференцированием.

Возвращаясь к рассмотренному выше примеру, можно записать:

Геометрический смысл неопределённого интеграла от функции  состоит в том, что он представляет собой совокупность графиков всех первообразных для этой функции. График совокупности можно получить из графика одной первообразной, если его перемещать параллельно самому себе вдоль оси О Y.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

Действительно,

2.

Действительно,

3.

4.

5.

Свойство 5 справедливо для любого конечного числа слагаемых.

Объединяя свойства 4 и 5, получаем линейное свойство неопределённого интеграла:

6.

7. Теорема (об инвариантности формул интегрирования). Если  то  где  произвольная непрерывно-дифференцируема функция.

Доказательство. Так как дифференциал первого порядка обладает свойством инвариантности, то  где  первообразная для , и, значит

Поскольку операции интегрирования и дифференцирования обратны по отношению друг к другу, то таблица основных интегралов легко получается из таблицы производных. Приведём таблицу основных интегралов для функции . При этом вместо буквы u при интегрировании может быть использована любая другая буква, например x, t, z и т. д. Кроме формул, получающихся непосредственно из таблицы производных, в таблицу интегралов включено несколько часто встречающихся интегралов.

Таблица основных интегралов

1.                            2.

3.             

4.                                        5.

6.                                         7.

8.                              9.

10.                               11.

12.           13.

14.                    15.

16.                    17.

18.

Замечание. Для удобства использования при дальнейшем изложении приведённой таблицы она дополнительно вынесена в Приложение I.

Пример. Пользуясь таблицей основных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти интегралы:

 

Решение.

 

1.2. Замена переменной в неопределённом интеграле

Теорема (о замене переменной в неопределённом интеграле). Пусть монотонная, непрерывно-дифференцируемая функция, тогда

                                       (1)

При этом, если  то  где  функция, обратная к функции .

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Алгоритм замены переменной в неопределённом интеграле:

1) Связать старую переменную интегрирования  с новой переменной  с помощью замены .

2) Найти связь между дифференциалами: .

3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной.

4) Проинтегрировать и в полученной первообразной вернуться к старой переменной, подставив

Замечание 1. При нахождении дифференциала функций необходимо использовать таблицу производных, поэтому приводим её в Приложении II.

Замечание 2. При интегрировании ряда функций часто удобно пользоваться приёмом подведения под знак дифференциала. Проиллюстрируем это на примерах.

Пример. Проинтегрировать подходящей заменой переменной или подведением под знак дифференциала.

Решение:

    

Среди интегралов, вычисляемых с помощью замены переменной, выделим интегралы вида:

При их вычислении необходимо выделить в знаменателе полный квадрат, для чего используется стандартная замена:

                             (2)

Пример. Найти интеграл

    Решение.

 

Интегрирование по частям

Если функции  и  обладают непрерывными производными, то справедлива формула:

                                                     (3)

называемая формулой интегрирования по частям.

В качестве   обычно выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.

Некоторые стандартные случаи функций, интегрируемых по частям, указаны в табл. 1. Там же дается способ выбора множителей  и .

Таблица 1

Вид интеграла

— многочлен от  степени , т. е. ,  где .

Пример. Проинтегрировать по частям.

Решение.

Решение.

а) Подынтегральная дробь неправильная, поэтому выделим целую часть путем деления многочлена на многочлен «углом»:

Итак,  Тогда

б) Подынтегральная дробь правильная, знаменатель этой дроби

разложим на множители, а затем разложим дробь на сумму простейших дробей.

Итак, получаем

Поскольку знаменатели исходной и полученной дробей одинаковы, то приравняем их числители и получим тождество

Сгруппируем в правой части слагаемые с одинаковыми степенями, а

затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и

правой частях тождества:

Следовательно, искомое разложение имеет вид:

Вернёмся к вычислению интеграла:

Решение.

 

Решение.

Решение.

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема (о производной от интеграла с переменным верхним пределом). Пусть функция  непрерывна на [ a,b ], тогда  производная от определённого интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции на этом верхнем пределе:

Доказательство. Обозначим  Придадим переменной х приращение  тогда  получит приращение   где с – некоторая точка между х и  По определению производной  имеем  причём последнее равенство справедливо ввиду непрерывности функции

Следствие.  первообразная для функции .

Теорема (формула Ньютона–Лейбница). Если функция  непрерывна на отрезке [ a,b ], то справедлива формула

                                   (8)

где  любая первообразная для функции , т.е.,

Доказательство. По следствию из предыдущей теоремы  первообразная для функции . По теореме о первообразной для данной функции любая другая первообразная  отличается от  на постоянное слагаемое:

 При  получим  с другой стороны, по свойству 2 определённого интеграла , следовательно,  и   При  имеем

Пример. Вычислить определённый интеграл

Решение.

Решение.

 

Решение.

 

Площади плоских фигур

Параметрически

    Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой, заданной параметрически уравнениями  где функции  и  имеют непрерывные производные для всех , и функция y (t) сохраняет знак на промежутке  прямыми x = a, x = b, где a = x (t ₀), b = x (t ₁),  и осью OX,  вычисляется по формуле:

                          (12)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически:

Решение.

Для построения фигуры составим таблицу значений координат (x, y)

точек кривой, соответствующих различным значениям параметра

t	0
x	2	0	–2	0	2
y	0	3	0	–3	0

 

Рис. 3

Нанесём точки (x, y) на координатную плоскость XOY и соединим их плавной линией. Когда параметр изменяется от  до , соответствующая точка  описывает эллипс (известно, что  – параметрические формулы, задающие эллипс с полуосями a и b). Учитывая симметрию фигуры относительно координатных осей OX и OY, найдём её площадь S, умножив на 4 площадь криволинейной трапеции AOB. Согласно формуле (12) получим:

Заметим, что для вычисления площади по формуле (9), построение чертежа не является обязательным, а носит иллюстративный характер.

Длина дуги плоской кривой

Координатах

Если кривая задана уравнением , функция  имеет непрерывную производную при всех , то длина дуги  (рис. 4) этой кривой, заключённой между точками  и

Рис. 4

 вычисляется по формуле:

        (13)

 

Решение.

а) Так как кривая задана в декартовой системе координат уравнением

, то для вычисления длины дуги воспользуемся формулой (13). Найдём     и подставим в (13):

б) Кривая задана параметрически, поэтому воспользуемся формулой (14). Найдём : и подставим в (14):

             

Несобственные интегралы

Определение. Несобственными интегралами называются интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы 1-го рода) и интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).

Пусть функция  определена и непрерывна на полусегменте  Возьмём любое  и рассмотрим интеграл  

Определение. Если существует конечный предел  то этот предел называется несобственным интегралом от функции на интервале  и обозначается  Говорят, что в этом случае несобственный интеграл существует или сходится. Если при интеграл  не имеет конечного предела, то говорят, что интеграл  не существует или расходится.

Геометрический смысл несобственного интеграла  состоит в том, что при для всех  он выражает площадь неограниченной области, заключённой между линиями  и осью ОХ.

Аналогично определяются несобственные интегралы на промежутках

 где с – любая точка на интервале  причём  существует, если сходятся оба интеграла в правой части, и расходится, если расходится хотя бы один из них.

Рассмотрим, как вычисляются несобственные интегралы 1-го рода.

где  первообразная для , т.е.

Аналогично,  и

Пример. Исследовать на сходимость интеграл

Решение.

Значит, интеграл сходится и его величина равна

Рассмотрим несобственные интегралы 2-го рода. Пусть функция  имеет бесконечный разрыв в точке  и непрерывна при  и  тогда полагают, что несобственный интеграл определяется формулой:

                        (16)

При этом несобственный интеграл называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.

Геометрический смысл несобственного интеграла  состоит в том, что при  для всех  он выражает площадь неограниченной области, заключённой между линиями  и осью ОХ.

Пример. Исследовать на сходимость интеграл

Решение. Интеграл  является несобственным интегралом 2-го

рода, так как промежуток интегрирования содержит точку бесконечного разрыва поэтому согласно формуле (16):

 несобственный интеграл расходится.

 

Метод прямоугольников

Учитывая геометрический смысл определённого интеграла и заменяя приближённо площади малых криволинейных трапеций площадями соответствующих прямоугольников с теми же основаниями (рис. 7), получаем:

Поскольку все отрезки одинаковой длины, то окончательно имеем:

                        (17)

Рис. 7

Формула (17) называется формулой «левых прямоугольников» для приближённого вычисления определённого интеграла. Выбирая прямоугольники другим способом, получим формулу «правых прямоугольников»:

                      (18)

Чем больше число разбиений n, тем точнее приближённое значение определённого интеграла, вычисленного по формулам (17) и (18).

Чтобы оценить найденное приближённое значение определённого интеграла, число n отрезков разбиения увеличивают в два раза, сравнивают полученные значения интегралов и оставляют первые совпадающие знаки, если точность недостаточна, то снова удваивают число разбиений и т.д.

Отметим, что погрешность R формул прямоугольников оценивается

формулой: где М ₁ – верхняя граница модуля первой производной функции на отрезке , т.е.

Метод трапеций

Каждую малую криволинейную трапецию приближённо заменим линейной трапецией (рис.8), площадь которой  Тогда

Поскольку все отрезки одинаковой длины, то окончательно имеем:

                        (19)

Рис. 8

Формула (19) называется формулой трапеций для приближённого вычисления определённого интеграла. Для погрешности R формулы (19) справедлива   оценка  где М ₂ – верхняя граница модуля второй производной функции на отрезке , т.е.

Мы привели только два метода приближённого вычисления определённого интеграла, существуют и другие численные методы вычисления определённых интегралов, учитывающих особенности подынтегральных функций.

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнений первого порядка.

Линейные уравнения

Линейные ДУ 1-го порядка имеют вид:

                                     (27)

где p (x) и q (x) — известные функции, непрерывные на некотором интервале.

Такие уравнения обычно решают методом Бернулли, который состоит в следующем. Решение ищется в виде произведения двух функций

 Тогда  Подставляя y и в (5), получаем:

Объединив второе и третье слагаемые в левой части последнего уравнения и вынося U за скобки, и получим:

                                (28)

Поскольку одну неизвестную функцию у заменили двумя функциями U и V, то одну из этих функций можем взять произвольно. Выберем функцию V (x) так, чтобы она была решением уравнения

                                                      (29)

тогда вторая функция U (x) должна удовлетворять уравнению

                                                           (30)

Решив уравнение с разделяющимися переменными (29), найдём V и подставим его в (30), откуда найдём U. Общее решение получим как произведение найденных функций U и V:

Пример. Найти общее решение ДУ

Решение. Уравнение имеет вид (27), поэтому является линейным. Решим его методом Бернулли. Сделаем замену

Приравняем коэффициент при U нулю и получим:

Решим первое из полученных уравнений:

 (при интегрировании использовали формулы 4 и 2 таблицы интегралов). При нахождении V постоянную С полагаем равной нулю, так как в данном случае достаточно найти некоторое решение.

Полученную функцию  подставим во второе уравнение:

 (использовали формулы 2 и 7 таблицы интегралов).

Таким образом,  или  — общее решение исходного ДУ.

 Уравнения Бернулли

Уравнения Бернулли имеют вид:

                                   (31)

где

Метод решения таких уравнений тот же, что и для линейных уравнений.

Пример. Найти общее решение ДУ

Решение. Разделим уравнение на  (х = 0 не является решением данного ДУ):

Полученное уравнение имеет вид (31), следовательно, это уравнение Бернулли. Сделаем замену  Получим:

Приравняем коэффициент при U нулю и получим систему уравнений:

Решим первое уравнение:

 (использовали формулу 4 таблицы интегралов).

Подставим полученную функцию V во второе уравнение:

(использовали формулы 3 а и 9 таблицы интегралов).

Таким образом, общее решение ДУ:

Рассмотрим теперь случаи  и V = 0, опущенные выше при решении уравнений системы (поскольку выполнялись деления на V и ). В каждом из этих случаев имеем y = 0, что является решением исходного ДУ, и так как это решение не может быть получено из общего решения, то оно является особым решением.

Все рассмотренные типы ДУ 1-го порядка и методы их решения включены в таблицу ДУ 1-го порядка (см. приложение III).

 

Решение.

а)  Характеристическое уравнение имеет вид:  Оно имеет два различных действительных корня  что соответствует случаю 1 и пару комплексно сопряжённых корней  что соответствует случаю 2. Следовательно, общее решение имеет вид:

б)  Характеристическое уравнение имеет вид:  Оно имеет корни  (корень кратности k =3) и  (корень кратности k =2), что соответствует рассмотренному выше случаю 3. Следовательно, общее решение имеет вид:

Всё изложенное выше применим к случаю ДУ 2-го порядка, как часто встречающемуся и притом весьма важному.

Линейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:

                                      (44)

где р ₁ и р ₂ — действительные числа.

Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного ДУ достаточно найти два линейно независимых частных решения  и  уравнения (44), чтобы записать общее решение:

Будем искать решение уравнения (44) по методу Эйлера. Запишем характеристическое уравнение для ДУ (44):

                                             (45)

 Корни  и  этого квадратного уравнения (с действительными коэффициентам  и ) могут быть либо действительными, различными или совпадающими, либо комплексно сопряженными. Поэтому согласно сказанному выше, возможны лишь следующие три случая:

а) Корни  и  действительные и различные. Тогда общее решение уравнения (44) имеет вид:

                                   (46)

б) Корни  и  действительные и равные,  Общее решение уравнения (44) имеет вид:

                                   (47)

в) Корни