Общие сведения из теории аксонометрических проекций

Аксонометрической проекцией (аксонометрией) геометрической фигуры называется параллельная проекция этой  фигуры и связанной с ней прямоугольной системой координат. В качестве примера на рис. 1 показана параллельная проекция на плоскость П ¢

точки А и связанной с ней прямоугольной системы координат О xyz.  Для получения наглядности (эффекта объемности) изображения выбирают такое направление проецирования s, при котором ни одна из трех координатных плоскостей (x О y, x О z или y О z) не имела бы на плоскости П¢ вырожденной проекции в виде прямой линии.

В этом случае любые отрезки, расположенные на координатных осях (например, ОА_х, ОА_у, ОА_z, которые являются координатами точки А), будут проецироваться на плоскость П¢ искаженно, т. е. не в натуральную величину.

Отношение аксонометрической проекции отрезка, расположенного на координатной оси или параллельно этой оси, к натуральной величине этого отрезка называется коэффициентом искажения аксонометрической проекции по данной координатной оси. В теории аксонометрии используются три коэффициента искажения:

  u = О ¢ A ¢ _x / OA_x; v =О ¢ A ¢ _y / OA_y; w = О ¢ A ¢ _z / OA_z

по координатным осям Ох, О y и О z соответственно.

Если u = v = w, то такая аксонометрическая проекция называется изометрией.

 Если u = w ¹ v - диметрией. Если u ¹ v ¹ w - триметрией.

В зависимости от направления проецирования s  по отношению к плоскости П ¢ различают прямоугольную аксонометрию, если s  ^ П ¢ или косоугольную аксонометрию, если направление s  не перпендикулярно плоскости П ¢.

Точки А ¢ ₁, А ¢ ₂, А ¢ ₃ аксонометрического чертежа называются соответственно вторичной горизонтальной, вторичной фронтальной и вторичной профильной проекцией
точки А, то есть это по существу аксонометрические проекции ортогональных проекций  этой точки.

На аксонометрическом чертеже любая последовательность трех взаимно перпендикулярных отрезков, являющихся аксонометрическими координатами точки А, в которой начало последующего отрезка совпадает с концом предыдущего (например, последовательность О ¢ А ¢ _х - А ¢ _х А ¢ ₁ - А ¢ ₁ А ¢), называется координатной ломаной точки А. Независимо от последовательности построения координатной ломаной, её конечной точкой будет аксонометрическая проекция точки А.

В качестве примера на рис. 2 показан ортогональный и аксонометрические чертежи точки А. При этом построены вторичная фронтальная проекция точки А (см. точку А ¢ ₂ на рис. 2, б) и её вторичная горизонтальная проекция (см. точку А ¢ ₁ на рис. 2, в). В первом случае использована координатная ломаная О ¢ А ¢ _х - А ¢ _х А ¢ ₂ - А ¢ ₂ А ¢ (последовательность координат x ¢ – z ¢ – y ¢) а во втором случае – координатная ломаная О ¢ А ¢ _х - А ¢ _х А ¢ ₁ - А ¢ ₁ А ¢ (последовательность координат x ¢ – y ¢ – z ¢).

В дальнейшем понятие вторичной проекции будет использовано при построении изображения сквозного призматического отверстия в цилиндре, конусе и шаре.