Тема 2: «общие законы и уравнения статики жидкости и газа».

1. Силы, действующие в жидкости.

1) Силы массовые - силы, распределенные по массе: на каждую частицу с массой Δ M и объёмом Δ W действует сила Δ F, в зависимости от её массы.

Пусть объём Δ W содержит в себе т. А. Тогда в т. А:

где F_А – плотность силы в элементарном объёме.

Плотность массовой силы – векторная величина, отнесена к единичному объёму Δ W; её можно проецировать по осям координат и получить: F_x, F_y, F_z. Т. е. плотность массовой силы ведёт себя, как массовая сила.

Примерами этих сил можно назвать силы тяжести, инерции (кориолисова и переносная силы инерции), электромагнитные силы. Однако в гидравлике, кроме особых случаев, электромагнитные силы не рассматривают.

2) Поверхностные силы - силы, которые действуют на элементарную поверхность Δ w, которая может находиться как на поверхности, так и внутри жидкости; на поверхности, произвольно проведенной внутри жидкости.

Примерами этих сил можно назвать силы давления, которые составляют нормаль к поверхности; силы трения, которые являются касательными к поверхности.

Если по аналогии (1) определить плотность этих сил, то:

· нормальное напряжение в т. А (плотность распределения нормальных сил):

· касательное напряжение в т. А (плотность распределения касательных, или тангенциальных, сил):

 

И массовые, и поверхностные силы могут быть внешними, которые действуют извне и приложены к какой-то частице или каждому элементу жидкости; внутренними, которые являются парными и их сумма равна нулю.

2. Гидростатическое давление, его свойства.

Гидростатическое давление - 1) давление в точке жидкости; 2) предел отношения силы ΔF, действующей на элементарную площадку Δω в том случае, когда данная площадка стягивается в точку.

Свойства:

1) Гидростатическое давление всегда направлено по внутренней нормали к площадке, на которую оно действует.

Если бы сила ΔF была бы направлена не по нормали к площадке Δω, то эту силу можно было бы разложить на составляющие: нормальную и касательную к площадке. Из-за текучести жидкости касательная составляющая силы привела бы жидкость в движение, т. е. в этом случае равновесие жидкости было бы невозможно.

Т. к. жидкость не сопротивляется растягивающим усилиям, то сила ΔF может быть только сжимающей. Т. о., по любой поверхности ω, проведённой внутри покоящейся жидкости, всегда действует только распределённая сжимающая сила.

2) Гидростатическое давление не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует. Т.е. гидростатическое давление на точку в жидкости со всех сторон одинаково.

Для доказательства выделим в покоящейся жидкости элементарную частицу в форме треугольной призмы с рёбрами l₁, l₂ и l­₃ и высотой a. Три грани тетраэдра лежат в координатных плоскостях Oxy, Ozy и Oxz, четвёртая же параллельна плоскости Oxz, пятая наклонена и ориентирована нормально к направлению n. Отбросим окружающую тетраэдр жидкость и для сохранения равновесия выделенной частицы приложим к каждой грани тетраэдра поверхностные силы F₁, F₂, F₃ и F.

Составим уравнения пропорций:

Разделяя на высоту призмы а, получаем:

3. Примеры действия закона Паскаля в технике.

Основной закон гидростатики (см. п. 6) представляет собой аналитическое выражение закона Паскаля, согласно которому давление передаётся без изменения в каждую точку среды. Действительно, давление p, которое создаётся поверхностной силой, приложенному к поршню, согласно основному уравнению гидростатики (см. п. 6) входит как слагаемое давления всех точек данного объёма жидкости. Этот же вывод вытекает непосредственно для невесомой жидкости.

Закон Паскаля указывает на способность жидкости передавать усилия на расстояние. Эта особенность жидкостей, коренным образом отличающая их от сыпучих тел, широко используется на практике. Приведём два характерных примера применения закона Паскаля:

1) Гидравлический домкрат. Принцип работы ясен из схемы на рисунке. Сила R, прикладываемая к поршню А, создаёт давление масла под поршнем:

Это давление передаётся в пространство, наполненное маслом под плунжером B. Давление p, действующее на площадь плунжера, уравновешивается грузом P, т. е.:

Сопоставив эти соотношения, получаем:

Учитывая правило рычага первого рода, находим условия для поднятия груза:

Клапан С₁ на схеме необходим для перепуска масла под поршень А при холостом, а С₂ – под плунжер B при рабочем ходе. Для опускания плунжера и груза масло выпускается обратно из полости 1 в полость 2 через перепускной вентиль Е.

2) Силовой цилиндр. Служит для сообщения рабочему органу возвратно-поступательного движения. На рисунке представлена простейшая схема гидроуправления заслонкой B. Давление жидкости, которая находится в трубопроводе А, действует через распределительный кран С на поршень силового цилиндра Е, жёстко связанного с заслонкой В. Положение крана, показанное на схеме, соответствует открытию заслонки. При положении крана, показанного штриховой линией, заслонка закрывается.

4. Приборы для измерения гидростатического давления.

Приборы для измерения давлений классифицируют по различным признакам. По характеру измеряемого давления приборы разделяют на следующие классы:

1) пьезометр – для измерения пьезометрического давления, т.е. давления жидкости высотой столба той же жидкости;

2) манометр - для измерения избыточного давления;

3) вакуумметр - для измерения вакуума;

4) мановакуумметр - для измерения как избыточного давления, так и вакуума.

По принципу действий приборы различают:

а) жидкостные;

б) механические;

в) электрические;

г) комбинированные.

Простейшим прибором для измерения избыточного давления является пьезометр (рис., а). Он представляет собой вертикально установленную прозрачную стеклянную или ПВХ трубку с открытым верхним концом.

Измерения по пьезометру проводят в единицах длины, поэтому иногда давления выражают в единицах высоты столба определенной жидкости. Пьезометр высотой 1,5...2м позволяет измерить давление до 0,15...0,20 атм.

Основным достоинством пьезометра является простота устройства и точность измерения. Основным недостатком пьезометра является малый диапазон измеряемых давлений. При больших давлениях пьезометр становится слишком громоздким. К недостаткам пьезометра также можно отнести хрупкость.

Избыточное давление в жидкостях или газах измеряется манометрами. Это весьма обширный набор измерительных приборов различной конструкции и различного исполнения

На рисунке 2,б показана схема действия поршневого манометра. При увеличении давления в сосуде жидкость или газ по закону Паскаля передаёт это давление на нижнюю поверхность поршня, заставляя его тем самым подниматься или опускаться. Поршень связан через систему рычагов с указательной стрелкой.

Приборы для измерения избыточного давления: а) пьезометр, б) поршневой манометр, в) жидкостный манометр, г) мембранный манометр, д) сильфонный манометр.

Другой тип манометра - это открытый (жидкостный) манометр (рис.2, в). Он состоит из U-образной трубки, наполненной ртутью или другой жидкостью. Работа основана на законе сообщающихся сосудов и на уравновешивании измеряемого давления газа давлением столба жидкости (ртути, воды и т. д.). В один конец трубки подается давление. Жидкость в другой трубке поднимается до тех пор, пока измеряемое давление не будет в точности равно давлению, вызываемому разностью уровней жидкости в двух коленах трубки. Зная эту разность высот можно рассчитать давление.

Недостатком такого манометра является то, что величина давления зависит от ускорения свободного падения в данном месте. Не всегда такой манометр градуируется в паскалях, часто бывает удобным измерять давление в единицах высоты столба данной жидкости - в миллиметрах ртутного столба, водяного столба (1 мм вод. ст. - 9,8 Па; 1 мм рт. ст. = 133,3 Па)

Рис. 3. Пружинный манометр

Одним из простых приборов для измерения повышенных и высоких давлений является трубчатый манометр или манометр Бурдона Главная составная часть его - изогнутая по дуге латунная труба 1 овального сечения (рис. 3).

Жидкость или газ, производя давление изнутри трубки, выпрямляет ее, по аналогии со знакомой каждому детской игрушкой «тещин язык».

Жидкость или газ подается в штуцер 3, соединенный с трубкой 1. Трубка, распрямляясь, приводит в движение систему зубчатых колес и рычагов 2, которые поворачивают стрелку 4; чем больше давление, тем на больший угол повернется стрелка. Угол поворота стрелки пропорционален измеряемому давлению. Шкала, нанесенная на циферблате, градуирована в единицах давления. Обычно манометр калибруется в кгс/см ². Такие манометры применяются при измерении давления воздуха, пара, газов и жидкостей. Манометры для измерения давления в шинах автомобиля часто бывают типа манометра Бурдона.

5. Дифференциальное уравнение (ДУ) равновесия Эйлера. Его физический смысл.

Выберем внутри покоящейся жидкости параллелепипед с рёбрами, расположенными параллельно координатным осям 0x, 0y и 0z и равными соответственно dx, dy, dz. Отбросим жидкость, окружающую параллелепипед, и заменим действие отброшенной жидкости силами, которые будут являться сжимающими поверхностными силами давления.

Кроме того, действуют массовые силы с плотностью распределения F. Её проекции на оси: F_x, F_y, F_z.

Пусть давление в центре выделенного объёма равно P. Т. к. давление – это непрерывная функция координат, то разложив эту функцию по приращению dx и ограничившись двумя первыми членами, получим выражения для давления в центрах боковых граней, левой и правой соответственно:

Масса жидкости в параллелепипеде:

Делим на m:

Данная система носит название уравнения Л. Эйлера – это ДУ по осям.

Каждую часть домножаем на dx, dy и dz соответственно, получаем:

Физический смысл уравнения Эйлера: оно отражает основное свойство гидростатического давления - это давление действует на рассматриваемую точку жидкости одинаково в любом направлении и зависит только от координат данной точки, т. е. P = f(х, у, z). Также функция P = f(х, у, z) выражает потенциальную энергию поля массовых сил.

6. Основной закон гидростатики. Его графическое представление и энергетический смысл.

Из уравнения поверхности уровня (см. п. 7) имеем:

Подставляя эти величины в выражение полного дифференциала (см. п. 5) получаем:

z, z₀ – 1) координаты произвольной точки (А) и свободной поверхности (т. В),

2) высоты расположения т. А и свободной поверхности,

3) геометрические высоты, или напоры, в т. А и на свободной поверхности.

Отсчитываются от плоскости сравнения – строго горизонтальной поверхности.

P/γ и P₀/γ – пьезометрические высоты, или напоры, соответствующие гидростатическому давлению на поверхности P₀ и P в т. А.

Энергетический смысл:

z, z₀ – удельная потенциальная энергия положения в т. А и на свободной поверхности;

P/γ и P₀/γ – удельная потенциальная энергия внешнего давления в т. А и на свободной поверхности.

Сумма удельной потенциальной энергии положения z и удельной потенциальной энергии давления P/γ есть величина постоянная во всех точках данной покоящейся массы жидкости.

7. Поверхность уровня. Уравнение поверхности уровня.

Поверхность уровня, или поверхность равного давления – поверхность, во всех точках которой давление одинаково.

Обратившись к уравнению Эйлера и полагая в нём, что dP=0 при ρ 0, получаем ДУ семейства поверхностей равного давления:

Поверхность уровня представляет собой семейство горизонтальных плоскостей.

Свободная поверхность жидкости, т. е. поверхность, граничащая с газовой средой, также является одной из поверхностей уровня.

При равновесии жидкости массовая сила в любой точке жидкости ориентирована по нормали к поверхности равного давления, проходящей через эту точку.

8. Абсолютное, избыточное давление. Вакуум.

Абсолютное, или внешнее, давление – давление на свободной поверхности p₀.

Избыточное давление – разность:

h – глубина погружения рассматриваемой точки под свободной поверхностью жидкости.

В гидротехнических сооружениях, как правило, на свободной поверхности жидкости давление равно атмосферному: . В этих случаях: . Т. о., при  избыточное и весовое давление  совпадают.

Если давление в жидкости меньше атмосферного, то напряжённое состояние жидкости характеризуется значением разрежения (вакуума).

Вакууметрическое давление:

9. Аналитический метод определения силы давления.

Рассмотрим плоскую вертикальную стенку с площадью смоченной части ω. Гидростатическое давление жидкости не остаётся постоянным в пределах смоченной части стенки. Разбив площадь ω на элементарные площадки dω и считая давление в пределах этих площадок постоянными, выражаем значение силы давления dP на элементарную площадку:

Вектор dF направлен со стороны жидкости по нормали к площадке. Суммарное воздействие жидкости сведётся к равнодействующей силе F, значение которой определяют с учётом формулы из основного закона гидростатики:

Без учёта абсолютного давления:

h _{ц. т.} – глубина погружения центра тяжести поверхности, на которую действует жидкость; ω – её площадь.

10. Центр давления и его определение аналитическим и графическим способами.

Центр давления (ц. д.)– точка приложения силы гидростатического давления.

Аналитический способ: пусть рассматриваемая площадь из п. 9 имеет вертикальную ось симметрии. Тогда ц. д. будет расположен на оси симметрии, и для определения его положения достаточно найти расстояние от линии уреза жидкости то точки D, т. е. h _{ц. д.}

Воспользуемся теоремой моментов: момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси. За ось моментов в данном случае примем линию уреза жидкости. Тогда:

Перенесём ось момента инерции в ц. т. площади. Моменты инерции относительно параллельных осей связаны между собой соотношением (по формуле Гюйгенса-Штейнера):

J ₀ – момент инерции смоченной площади относительно оси, проходящей параллельно линии уреза жидкости через центр тяжести этой площади. Подставив значение J_z в формулу:

Получаем следующее:

Графический способ: сила давления F перпендикулярна к рассматриваемой поверхности ω и проходит через центр тяжести эпюры давления. Это следует из самого понятия центра тяжести как точки приложения равнодействующей всех элементарных сил данной силовой фигуры (F - равнодействующая всех элементарных сил давления). Т. о., для определения ц. д. графическим способом необходимо:

· Построить эпюру давления.

· Определить центр тяжести эпюры давления.

· Сила давления проходит через центр тяжести эпюры и направлена по внутренней нормали к поверхности. Точка пересечения вектора F и поверхности - центр давления.

 

11. Графоаналитический метод определения силы давления.

Сила гидростатического давления равна объёму эпюры давления. Сила давления F перпендикулярна к рассматриваемой поверхности ω и проходит через ц. т. эпюры давления. Это следует из самого понятия ц. т. как точки приложения равнодействующей всех элементарных сил данной силовой фигуры (F - равнодействующая всех элементарных сил давления). Т. о., для определения силы F графическим способом необходимо:

· Построить эпюру давления.

· Определить площадь эпюры давления:

· Определить силу давления, которая равна площади эпюры, умноженной на ширину поверхности, т.е. объему эпюры давления (на примере прямоугольной поверхности):

· Сила давления проходит через центр тяжести эпюры и направлена по нормали к поверхности. Точка пересечения вектора F и поверхности - центр давления.

 

12. Давление жидкости на криволинейные стенки. Понятие тела давления (т. д.).

Рассмотрим некоторую ограниченную часть твёрдой цилиндрической поверхности, которую назовём цилиндрической стенкой. Пусть рассматриваемая стена находится под действием покоящейся жидкости, которое сводится к тому, что в каждой точке на стенку действует давление жидкости. Разобьём стенку на элементарные площадки. В силу малости площадок будем считать их плоскими и выразим элементарную силу давления на них в общем виде: dF = pdω. Силы dF не будут направлены параллельно друг другу, их линии действия не могут пересекаться в одной точке, их сумма не может сводиться к одной равнодействующей. В таком случае имеют место быть две составляющих силы гидростатического давления – вертикальная (z) и горизонтальная (x):

Отсечём часть жидкости слева, действие её заменим силой F_x. Горизонтальная составляющая силы полного давления определяется по закону силы полного давления на плоскую поверхность. Для этого необходимо криволинейную поверхность спроецировать на вертикальную плоскость и в формулу подставлять данные этой проекции.

ω_z – площадь проекции криволинейной поверхности на вертикальную плоскость.

γ – вес в объёме тела давления (т. д.), Н/м³, W – объём т. д.,  м³.

Для построения объёма т. д. необходимо из концов криволинейной поверхности провести образующие (перпендикулярные к свободной поверхности) до пересечения со свободной поверхностью или мысленным её продолжением. Т. д. – тело, объём которого образован между образующими, криволинейной и свободной поверхностями. Различают объёмы давления действительные и мнимые. Если эпюра объёма т. д. накладывается на жидкость, имеется в виду действительный объём т. д. (рис., а), в противном случае – мнимый объём т. д (б).

13. Условие плавания тел. Закон Архимеда для жидкости.

Рассмотрим полностью погружённое в жидкость твёрдое тело, представляющее собой параллелепипед. Горизонтальные составляющие силы давления на вертикальные грани взаимно уравновешиваются, а вертикальная составляющая равна весу жидкости в объёме тела.

Действительно, в данном случае мы имеем два тела давления: одно соответствует давлению на верхнюю часть тела (высота т. д. – h₁), другая – на нижнюю часть (h₂). Объём первого т. д. равен W₁, второго – W₂, причём W₂= W₁+ W_{тв.тела.}

Вертикальная составляющая F₁ равна весу жидкости в объёме W₁, т. е.:

ω – площадь поверхности горизонтальной грани твёрдого тела в плане.

Сила F₁ направлена вертикально вниз.

Вертикальная составляющая F₂ равна весу жидкости в объёме W₂, т. е.:

Сила F₂ направлена вертикально вверх.

Равнодействующая сила давления равна разности указанных составляющих:

Равнодействующая сила F_A называется выталкивающей, или архимедовой, силой.

Формулировка закона Архимеда: сила давления покоящейся жидкости на погруженное в неё тело равна весу жидкости в объёме этого погруженного тела.

1)

2)

3)