Глава 1. Понятия необходимые для решения задач с помощью производной

Оглавление

 

Введение

Глава 1. Понятия необходимые для решения задач с помощью производной

Определение производной

Предел функции

Понятие интеграла

Понятие дифференциала функции

Глава 2. Применение производной к решению задач

Исследование функции

Применение производной при решении задач в разных науках

Задачи по геометрии

По аналитической геометрии

По дифференциальной геометрии

Задачи по физике

Вычисление интегралов

Доказательство неравенств

Вычисление пределов (Правило Лопиталя)

Заключение

Список литературы

производная интеграл функция неравенство предел

 

Введение

Рассматриваемая тема является одним из разделов курса алгебры и начала анализа. Она имеет широкое применение в таких науках как физика, геометрия и др.

Математический аппарат этой темы помогает при вычислении определенных и неопределенных интегралов и пределов функций, при доказательстве неравенств, помогает в исследовании функций в высшей математике. Кроме того, данная тема имеет свою историю, ей занимались и занимаются такие ученые как Г. Лейбниц, Ж. Лагранж, И. Ньютон, Г. Галилея, Р. Декарта. Подробнее остановимся на изложении исторического аспекта темы.

Термин «производная» является буквальным переводом на русский французкого слова derive, которое ввел в 1797 г. Ж. Лагранж (1736-1813); он же ввел современные обозначения . Такое название отражает смысл понятия: функция  происходит из , является производным от . И. Ньютон называл производную функцией флюксией, а саму функцию- флюентой. Г. Лейбнич говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как . Символ  Лейбниц выбрал для обозначения дифференциала функции .

Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия. Тем более поразительно, что за долго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, но и сумел найти максимум функции . В XVII в. на основе учения Г. Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной.

Эта тема интересна и мне.

Цель моей работы - расширить свой кругозор и научиться решать задачи по данной теме.

Чтобы достигнуть цели, мне пришлось решить следующие исследовательские задачи.

. Подобрать и изучить материал по этой теме.

. Из изученного материала выбрать главное.

. Систематизировать основной материал в форме реферативно-поисковой работы.

. Научиться решать задачи по теме.

. Составить свои задачи по данной теме и решить их.

. Подобрать и разработать наглядно-иллюстративный материал по данной теме.

 

Определение производной

 

Пусть мы имеем функцию

y = f (x), (1)

 

определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента x из этого промежутка функция y = f (x) имеет определенное значение.

Пусть аргумент x получил некоторое (положительное или отрицательное- безразлично) приращение Δ x. Тогда функция y получит некоторое приращение Δ y. Таким образом:

при значении аргумента x будем иметь y = f (x),

при значении аргумента x + Δ x будем иметь y +Δ y = f (x + Δ x).

Найдем приращение функции Δ y:

 

Δ y = f (x + Δ x)- f (x) (2)

 

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

 

. (3)

 

Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f (x) и обозначают . Таким образом, по определению,

или

. (4)

 

Определение 1. Производной данной функции y = f (x) по аргументу x называется предел отношения приращения функции Δ y к приращению аргумента Δ x, когда последнее произвольным образом стремится к нулю. [5, с. 65]

Заметим, что в общем случае для каждого значения x производная  имеет определенное значение, т.е. производная является также функцией от x.

Наряду с обозначением  для производной употребляются и другие обозначения, например

 

, .

 

Конкретное значение производной при  обозначается  или . Операция нахождения производной от функции f (x) называется дифференцированием этой функции.

Пример 1. Дана функция ; найти ее производную :

1) в произвольной точке x,

2) при .

Решение. 1) При значении аргумента, равном x, имеем . При значении аргумента равном x + Δ x, имеем y +Δ y = .

Находим приращение функции :

.

Составляем отношение :

 

.

 

Переходя к пределу, найдем производную от данной функции:

 

.

 

Итак, производная от функции  в произвольной точке равна

.

)   При  получим:

.

Пример 2. ; найти .

Решение. Рассуждая так же как в предыдущем примере, получаем:

 

; ;

;

; .

Геометрический смысл производной.

Теперь дадим не менее важное геометрическое истолкование производной. Для этого нам прежде всего потребуется определение касательной к кривой в данной точке.

Рис. 1. Рис. 2.

 

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку . Возьмем на кривой точку  и проведем секущую (рис. 1). Если точка  неограниченно приближается по кривой к точке , то секущая  занимает различные положения ,  и т. д.

Если при неограниченном приближении точки , по кривой к точке  с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой , то эта прямая называется касательной к кривой в точке .

Определение 2. Прямая заданная уравнением

 

 

называется касательной к графику функции  в точке . [6, c. 134]

Рассмотрим функцию  и соответствующую этой функции кривую

 

 

В прямоугольной системе координат (рис. 2). При некотором значении  функция имеет значение . Этим значениям  и  на кривой соответствует точка . Дадим аргументу  приращение . Новому значению аргумента  соответствует «наращенное» значение функции . Соответствующей ему точкой кривой будет точка . Проведем секущую  и обозначим через  угол, образованный секущей с положительным направлением оси . Составим отношение . Из рисунка 1 непосредственно усматриваем, что

 

. (5)

 

Если теперь  будет стремиться к нулю, то точка  перемещаться вдоль кривой, приближаясь к . Секущая  будет поворачиваться вокруг точки  и угол  будет меняться с изменением . Если при  угол  стремиться к некоторому пределу , то прямая, проходящая через  и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол , будет искомой касательной. Нетрудно найти ее угловой коэффициент:

 

.

Следовательно,

, (6)

 

т.е. значение производной   при данном значении аргумента   равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси  касательной к графику функции  в соответствующей точке .

Предел функции

 

Определение 3. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки a или в некоторых точках этой окрестности.

Функция y = f (x) стремится к пределу b (y b) при x, стремящемся к a , если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство .

 

Рис. 3.

 

Если b есть предел функции y = f (x) при , то пишут:

или  при .

Если  при , то на графике функции y = f (x) это иллюстрируется следующим образом (рис. 3); так как из неравенства  следует неравенство , то значит, что для всех точек x, отстоящих от точки a не далее чем на , точки М графика функции y = f (x) лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми  и . [5, c. 31]

Замечание. Предел функции f (x) при  можно определить следующим образом.

Пусть переменная величина x принимает значение так (упорядочена так), что если

,

то  есть последующее, а - предыдущее значение; если же

 и ,

то  есть последующее, а - предыдущее.

Другими словами, из двух точек числовой прямой последующей является та точка, которая ближе к точке a; при равных расстояниях последующая- та, которая правее от точки a.

Пусть упорядоченная таким образом переменная величина x стремится к пределу  или .

Рассмотрим, далее, переменную величину y = f (x). При этом будем считать, что из двух значений функции последующем является то значение, которое соответствует последующему значению аргумента.

Если определенная так переменная величина y при  стремится к некоторому пределу b, тобудем писать

и говорить, что функция y = f (x) стремится к пределу b при .

 

Рис. 4.

 

Замечание. Если f (x) стремится к пределу b при x, стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a, то пишут  и называют   пределом функции в точке a справа (рис.4).

Если x принимает только значения большие, чем a, то пишут  и называют   пределом функции в точке a справа (рис.4).

Можно доказать, что если предел справа и предел слева существуют и равны, т.е. , то  и будет пределом в смысле данного выше определения предела в точке a. И обратно, если существует предел функции b в точке a, то существуют пределы функции в точке a справа и слева и они равны.

Пример 3. Докажем, что . Действительно, пусть задано произвольное ; для того чтобы выполнялось неравенство

,

Необходимо выполнение следующих неравенств:

, , .

Таким образом, при любом  для всех значений x, удовлетворяющих неравенству , значение функции  будет отличаться от 7 меньше чем на . А это и значит, что 7 есть предел функции при .

Замечание. Для существования предела функции при  не требуется, чтобы функция была определена в точке . При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрестности точки a, отличные от a; это положение наглядно иллюстрируется следующим примером.

Пример 4. Докажем, что . Здесь функция  не определена при .

Нужно доказать, что при произвольном  найдется такое , что выполняться неравенство

 

, (7)

 

если . Но при  неравенство (7) эквивалентно неравенству

 

или

 

. (8)

 

Таким образом, при произвольном  неравенство (7) будет выполняться, если будет выполняться неравенство (8) (здесь ). А это и значит, что данная функция при  имеет пределом число 4.

Определение 4. Функция  стремится к пределу b при , если для каждого произвольно малого положительного числа  можно указать такое положительное число N, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство . [5, c. 34]

Зная смысл символов , , очевидным является и смысл выражений:

« стремится к b при  » и

« стремится к b при  »,

Которые символически записываются так:

 

, .

 

Понятие интеграла

 

Пусть  - функция, непрерывная на данном отрезке , где , и - некоторая первообразная при .

Разобьем отрезок  на  частей

. (9)

Обозначим длину отрезка ,  через .

Тогда величина

 (10)

 

называется мелкостью разбиения.

Зафиксируем произвольным образом точки ,  

и составим сумму

 

 (11)

 

Суммы вида (11) называются интегральными суммами Римана.

Определение 5. Функция  называется интегрируемой (по Риману) на отрезке , если существует такое число , что любой последовательности разбиений отрезка , у которой  и для любого выбора точки x_iÎ ,  выполняется равенство

 

, (12)

где

  _. [8, c. 54]

 

Если выполнены все условия определения 3, то число  назовем (Римановым) определенным интегралом функции  на отрезке  и будем обозначать

 

. (13)

 

Таким образом,

,

где ,

или подробно

 (14)

 

Определение 6. Число  называется определенным интегралом функции  на отрезке , если для : для любого разбиения   , мелкость которого меньше , каковы бы ни были точки , то будет выполнено неравенство

 

 

где , . [8, c. 56]

Если - первообразная, то под определенным интегралом понимается соответствующее приращение первообразной на , то есть

 

 (15)

(формула Ньютона-Лейбница).

Запишем формулу Ньютона-Лейбница в следующем виде

 

,

где  и  назовем соответственно нижним и верхним пределом интегрирования.

Теорема 1. (Основная теорема интегрального исчисления). Пусть  непрерывна на  и  является какой-нибудь ее первообразной на этом отрезке. Тогда

 

. (16)

 

Доказательство:

Положим , но тогда ,  - две первообразные одной и той же функции , то есть

 

, ,

 

то есть

 

.

 

При  следует, что .

Таким образом

 

.

 

Полагая здесь , получим (16). [5, c. 384]

Теорема доказана.

Исследование функции

 

Дифференциальное исчисление широко используется при исследовании функций. С помощью производной можно найти промежутки монотонности функции, ее экстремальные точки, наибольшие и наименьшие значения.

Возрастание и убывание функций.

Как известно функция, заданная на множестве , называется возрастающей на этом множестве, если для любых , таких, что , имеем :

 

.

Если

,

 

то функция  называется неубывающей на множестве .

Аналогично определяются понятия убывающей и невозрастающей функций.

Теорема 3. Если функция   непрерывна на отрезке , а ее производная положительна на интервале , то   возрастает на .

Доказательство. Рассмотрим две любые точки , такие, что . Так как для функции  на отрезке  выполняется условие теоремы Лагранжа, то

, (18)

 

где точка  лежит между  и .

Поскольку оба множителя правой части равенства (18) положительны ( по условию,  в силу выбора точек), то

, (19)

 

а значит, и

.

 

Итак,  и, следовательно, функция  возрастает на , что и требовалось доказать. [2, c. 99]

Теорема 4. Если функция   непрерывна на отрезке , а ее производная отрицательна на интервале , то   убывает на .

Доказательство этой теоремы аналогично.

Пример 6. Докажем, что функция  убывает на всей числовой прямой.

Решение. Имеем

 

.

Так как при любом  выполняется неравенство  и, кроме того, равенство  выполняется только в одной точке , то на всей числовой прямой , причем  в одной точке. Значит, функция убывает на всей числовой прямой. Экстремумы функции.

Определение 7. Пусть функция , заданная на множестве , определена в некоторой окрестности точки  и непрерывна в этой точке. Если существует такая окрестность точки , что для всех точек  этой окрестности выполняется неравенство ,

то  называется точкой максимума (минимума) функции .

Точки максимума называют точками экстремума. [2, c. 85]

Определение 8. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими (иногда точки, где производная равна нулю, называют стационарными). [2, c. 86]

Теорема 5. пусть функция  определена в точке  и пусть существует , такое, что функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервалах , причем производная данной функции сохраняет знак на каждом из этих интервалов.

Если на  знаки производной различны, то - точка экстремума, а если совпадают, то  не является точкой экстремума. При этом если при переходе через точку  производная меняет знак с «+» на «-», то точка - точка максимума, если же производная меняет знак с «-» на «+», то - точка минимума.

Доказательство. Пусть производная  положительна на интервале  и отрицательна на . Докажем, что - точка максимума функции.

По условию функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале   и на этом интервале имеем . Значит по теореме 1 функция  возрастает на отрезке . Поэтому из неравенства , где , следует . Аналогично устанавливаем, что функция  убывает на отрезке , а поэтому из неравенства , где , следует .

Таким образом, в - окрестности точки   для точек , отличных от , выполняется неравенство

 

.

Это означает, что - точка максимума функции .

Рассмотрим случай, когда производная не меняет знака при переходе через точку ; пусть она отрицательна как слева, так и справа от . Тогда функция убывает как на отрезке , так и на отрезке . В таком случае   не является точкой экстремума.

Остальные два случая рассматриваются аналогично. Теорема доказана. [2, c. 101] Таким образом, чтобы исследовать функцию  на экстремум, нужно: 1) найти ее производную; 2) найти критические точки; 3) рассмотреть окрестность каждой из критических точек, не содержащую других критических точек, и исследовать знак производной слева и справа от рассматриваемой точки; 4) опираясь на данную теорему сделать выводы.

Пример 7. Исследуем на экстремум функцию .

Решение. Имеем

 

.

 

Приравняв производную к нулю, находим . При переходе через точку  производная меняет знак с «+» на «-», значит, в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку  производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке функция имеет минимум. Имеем .

 

Задачи по геометрии

 

По аналитической геометрии

Пример 8. Найти угол между касательной к графику функции  в точке  и осью .

Решение. Найдем угловой коэффициент касательной к кривой  в точке , т.е. значение производной этой функции при .

Производная функции  равна . По формуле  находим , откуда .

Пример 9. Найти уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

Решение. Значение функции  и ее производной в точке  равны: . Используя формулу , найдем искомое уравнение касательной:

 или .

Пример 10. Доказать, что касательная к параболе  в точке с абсциссой  пересекает ось  в точке .

Решение. Пусть , тогда  и .По формулу  находим уравнение касательной:

.

Найдем точку пересечения этой касательной с осью абсцисс.

Из равенства  находим .

Пример 11. Найти тангенсы углов наклона касательной к кривой  в точках

Решение. Имеем ; следовательно,

 

Задачи по физике

 

Пусть точка движется вдоль некоторой прямой. Выберем на прямой начало отсчета, положительное направление и единицу измерения. Тогда положение точки на прямой будет определяться ее координатой. Зависимость  называется законом движения точки. Средней скоростью движения называют отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого это пер