Обзорная лекция по теме «квадратный трехчлен и его свойства. Понятие об уравнении с параметром».

Прежде всего, вспомним факты, изученные в курсе алгебры, о квадратном трехчлене Ax + B х+ C (при А 0) (1).

1. Количество корней квадратного трехчлена.

Для определения количества корней квадратного трехчлена достаточно знать знак дискриминанта D = B ² -4 AC:два корня, если D >0; один корень, если D =0; нет корней, если D <0.

2. Нахождение корней квадратного трехчлена при D 0 по формуле

. Причем, при D =0 корни совпадают .

3. Теорема Виета: Если дискриминант  (при А 0), то трехчлен Ax + B х+ C имеет корни   и , удовлетворяющие соотношениям:   (*)

И наоборот, если числа   и  удовлетворяют соотношениям(*), то они являются корнями квадратного трехчлена Ax + B х+ C.

 4. Квадратное уравнение – это уравнение, соответствующее квадратному трехчлену (1), Ax + B х+ C =0, где х – переменная, А, В, С - некоторые числа, А 0.

5. Понятие об уравнении с параметром.

Пусть задано уравнение f (x, a)=0. Его называют уравнением с неизвестным х и параметром а, если, в частности, ставится задача найти х для каждого значения а.

Уравнение с параметром – это, по существу, краткая запись множества уравнений, получаемых при различных значениях а.

Пример. Рассматривается серия уравнений: , , . В общем виде эти уравнения можно записать: , где а – некоторое число, которое называется параметром.

3. Решение задач

3.1. Рассмотрение примера решения задачи:

При каких значениях m ровно один из корней уравнения 3х²+х+2m-3=0 равен 0?

Учитель записывает решение на доске и поясняет каждый шаг.

3.2. Решение задач.

- задания 1, 2: каждое задание один из учеников решает на доске, остальные – в тетради. После решения задания 2 ученик с помощью учителя записывает на доске условия, определяющие количество корней квадратного уравнения в зависимости от значения А(а).

- задание 3: учащимся дается время на самостоятельное выполнение задания. После того, как с заданием справилась треть класса, один из учеников, его выполнивших, записывает решение на доске.

Дополнительные задания:

- учащиеся, решающие «вперед», самостоятельно выполняют задания 4-7. В конце занятия производится устная проверка решения этих заданий: рассказывается идея и шаги решения.

Задания.

Основная часть:

1. При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен 0:

x ² +(m +3) x + m -3=0

 2. При каких значениях параметра р уравнение рх - х+3=0 имеет единственное решение?

При решении данного уравнения необходимо учесть, что может быть р=0. В этом случае уравнение также имеет единственное решение.

В общем случае условия существования единственного решения запишутся следующим образом:

 или

Если  то уравнение не имеет корней.

Если  то уравнение имеет бесконечно много решений.

3. При каких значениях параметра а уравнение ах -4х+а+3=0 имеет не более одного корня?

Дополнительные задания:

4. При каких значениях а корни уравнения 4х²+(5а-1)х+3а=-а равны по модулю, но противоположны по знаку?

5. Найдите все значения параметра k, при которых уравнение (k -2) x -2 kx +2 k -3=0 имеет хотя бы один корень?

6. Доказать, что при любом значении а уравнение х²+(а-2)х+(а-3)=0 имеет два корня.

7. При каких значениях параметра а уравнение  имеет единственное решение?

Подведение итогов занятия:

- Интересными ли явились задания?

- Не являются ли они сложными или, наоборот, простыми?

Выставление учениками самим себе баллов за каждое верно решенное задание (1 задание – 1 балл).

5. Постановка домашнего задания:

Задания, аналогичные задачам, решаемым на занятии:

№1. а) При каких значениях k оба корня уравнения х²+(16- k)х+ k +8=0 равны 0?

 б) При каких значениях а корни уравнения х²-2х+ m -1=0

равны по модулю, но противоположны по знаку?

№2. При каких а уравнение

а) (а -4)х +(2а-4)х-(а-2)=0 имеет не менее одного решения;

б) (а+1)х +2(а+1)х-2=0 не имеет корней.

Задания на самостоятельный поиск решения:

№3. а) Найти корни квадратного уравнения ах²+ b х+с=0, если а– b +с=0.

 б) При каких значениях параметра а уравнения  равносильны? (Вспомнить, какие уравнения называются равносильными)

Литература: [3], [8], [12], [13], [18].