Понятие в математической логике

Как мы уже знаем, в математической логике не рассматривается суждение, как форма мысли; оно сводится к предложению или к отношению предметов («суждение отношения»). То же можно сказать и о понятии. Форма мысли, как таковая (как это было отмечено и выше) непонятна для математической логики. Лукасевич прямо говорит, что он не понимает, что называется формой мысли, поскольку мысль не имеет фигуры[141]. Для него мышление есть только психологическое явление. Он не видит объективной мысли, т.е. логического.

Нечто, соответствующее понятию, рассматривается в математической логике в исчислении предикатов, в частности, в исчислении классов. Исчисление предикатов есть та часть математической логики, где применяется разделение суждения на субъект и предикат, тогда как в исчислении предложений такого разделения нет. Разделение суждения необходимо для установления связи между посылками и заключением (математическая логика окончательно приходит к отрицанию субъекта суждения и сводит его к предикату).

Понятию соответствует класс. Существует и пустой класс, т.е. такой, котором нет ни одного элемента, например, бог, амазонка и т. д. Если для суждения характерно утверждение и отрицание, истинность и ложность, то для понятия это не характерно.

Для понимания того, каков смысл понятия в математической логике, надо исходить из природы вышеназванных «суждений», именно из общих, частных и единичных «суждений». Возьмем эти суждения в виде следующего примера и в следующей форме: 1) единичное предложение — «этот человек смертен», 2) предложение существования — «существует такой X, когда х смертен» — Ех (х смертен), 3) общее предложение — «для каждого х правильно, что х смертен — Ах (х смертен). В скобках помещена пропозициональная функция, которая ни истинна, ни ложна: она станет такой, если перед ней будут помещены кванторы или х получит определенное — единичное значение. Единичное предложение, составленное пропозициональной функцией, будет истинным, если значение переменного х есть элемент класса, который соответствует понятию «смертен». Частное предложение является истинным, если класс, соответствующий понятию «смертен», содержит в себе элементы, т.е. если не пуст. Общее предложение истинно только тогда, когда класс, соответствующий понятию «смертен», содержит все предметы. Отсюда заключают, что понятие в математической логике есть пропозициональная функция.

Эта мысль не должна быть верной уже вследствие того простого обстоятельства, что понятие не может иметь форму пропозициональной функции и содержать переменное. Отождествление понятия с пропозициональной функцией означает изъятие понятия, как самостоятельной формы смысли, из логики, допущение чего невозможно. Пропозициональная функция есть схема, а не мысль, понятие же представляет собой совершенно определенную мысль, определенную форму мысли, которая должна изучаться логикой.

Сама мысль «понятие есть пропозициональная функция — схема», тоже не может быть схемой. Поэтому понятие не есть схема, пропозициональная функция.

 

Понятие и категория

Каждая категория есть понятие, но не наоборот — не каждое понятие есть категория, т.е. категориями являются только некоторые понятия. Категория есть мысль о наиобщей стороне действительности. Здесь понятие действительности охватывает все существующее, в частности и мысль. Философская категория (мы говорим здесь только об этой категории) абсолютно всеобща. Категория касается всего; например, категория существования касается всего, существуют как вещи так и мысли. Всеобща также и категория сущности, поскольку все существующее имеет сущность, — то, что она есть. Наиобще и качество, поскольку все имеет качество, именно то, что это есть, а не другое; таково же количество; каждая вещь имеет количественную сторону, внешнюю для нее, но необходимую сторону. И объем понятия есть множество определенного вида, есть совокупность элементов, которая подразумевается в понятии. Закон тоже является одной из категорий, поскольку везде существуют необходимые, внутренние и общие связи явлений. То же относится и к другим философским категориям, но этого нельзя сказать о других понятиях. Категория не имеет рода. Нет более высокого, более общего количества чем «просто» количество. Нет и качества более общего чем качество (что нечто есть это, а не другое). Невозможно более общее понятие сущности чем понятие сущности и т. д. Во взаимосвязи категорий есть один аспект, где предусматривается объем и где, поэтому, различают друг от друга род и вид; например, понятие категории есть род всех категорий. Какая-нибудь категория может быть более общей, чем другие категории, например, есть множество категорий сущности (категории тождества противоречия, закона и другие); так же, бытие есть одна категория, но существуют категории бытия: количество, качество, мера; и наиобщая сторона какой-нибудь категории может быть категорией: но это общность содержательная, а не объемная.

Как было сказано и выше, нет у категории и видов. Например, нет более частного количества чем количество, более частной сущности, чем сущность, более частного закона, чем закон, более частной, необходимости, чем необходимость (поэтому, необходимость и не имеет степеней); если бы какая-нибудь категория имела виды, то, как было уже сказано, одна категория, вместе с тем, была бы не одной, а множеством, что невозможно. Какая-нибудь категория логически не может быть больше одной.

Существуют не виды категорий, а их формы, их конкретизация в той или иной сфере. В различных сферах категория проявляется различным образом. Но сама категория везде одна и та же. Например, существует категория необходимости, хотя историческая необходимость и логическая необходимость различаются друг от друга. Можно сказать, что историческая и логическая необходимость суть «виды» понятия необходимости, но необходимость, как категория, только одна. Категория, взятая в объемном аспекте, будет уже понятием, которое взято не в категориальном смысле. Рассмотрение «видов» необходимости не касается необходимости как категории. Таким образом, какая-нибудь категория может быть рассмотрена в аспекте обычного — формально-логического — понятия, именно, в аспекте объема понятия. Но это не будет категорией, как таковой, которая не входит в сферу формальной логики.

Какая-нибудь философская категория может иметь стороны, моменты, которые сами будут категориями, входящими в первую категорию. Такие моменты, как категории, не являются видами той категории, моментами которой они являются. Таковы, например, категории сущности, бытия и др. названные выше. Например, в категорию бытия входит количество, как одна ее сторона, но род количества не есть бытие. Род количества может быть только количеством, а не чем-то другим; но, как было сказано, нет более общего количества чем категория количества; это относится и к другим категориям.

Категория может быть формой необходимой связи, например, мера есть форма связи качества и количества; но не каждая категория есть форма связи: существуют и такие категории, которые не являются формами связи. Например, явление и случайность представляют собой категории, но они не являются формами связи.

Существуют такие категории — понятия, отражающие наиобщую сторону действительности — устранение которых в мышлении логически, невозможно; они для него необходимы. Это такие категории, которые пригодны как объективные правила — средства для мысли. Это категории логического, рассмотренные выше. Как мы уже знаем, категорий логического больше, чем тех, которые являются и онтологическими категориями. Существуют и категории только логического (понятие, суждение, умозаключение). Мы знаем и то, что друг от друга отличаются логические категории и категории логического. Обычными формально-логический являются понятия, которые подчиняются логическим категориям и категориям логического. Следовательно, существует три вида понятий, два из которых являются категориями. Понятие, как род, подчиняет категории, как особенные понятия, но категории, как содержательные общности и как формы логического, своеобразно подчиняют себе всякие понятия.

Категории в логику впервые внес Кант; у Аристотеля, и до Канта, категории рассматривались, главным образом, как понятия онтологии. Например, в метафизике Аристотеля рассмотрены категорий: сущности, общего, материи, формы, возможности, действительности и др.; в его физике рассматриваются категории времени, пространства, движения и др. Кант впервые понял категорию, как логическую форму. Для него понятия рассудка являются категориями, т.е. формами суждения. Категории (единство, множество, всеобщность, субстанция, причинность, взаимоотношение, возможность, действительность и необходимость) представляют собой трансцендентальные, своеобразные логические условия суждений. Невозможно суждение без категорий. Категории суть правила, поэтому характерная для них общность есть общность правила, а не общность объемного характера. Кант ввел категории не в «общую» — формальную — а в «трансцендентальную логику», в теоретико-познавательную логику, в ту логику, которая то же самое, что и теория познания, и наоборот. Учение о категориях, как о логических формах, получило развитие у Фихте и Гегеля, которые поняли логику, как систему категорий.

 

§ 147. Форма и содержание понятия

Понятие есть одна из форм мысли, отличающаяся от других — от суждения и умозаключения. То, что характерно для понятия, как для формы, и что отличает его от других форм мысли, есть собственное содержание формы понятия. Здесь содержание и форма совпадают друг с другом не так, что якобы одно из них остается, а второе отрицается, а оба имеют один и тот же смысл, оба есть одно и то же. Понятие, как форма имеет свое собственное содержание, так же, как и у каждой формы имеется характерное для нее содержание. Что из себя представляет понятие, то и есть его собственное содержание; это есть и форма. Содержание понятия, как такового, полагается определением понятия. С логической точки зрения, содержание чего-либо полагается именно его определением. Это определение полагает «признаки» — содержание.

Понятие имеет и другое содержание. Именно то, что оно высказывает. Это содержание имеет две стороны: 1) эмпирически-единичную и 2) общую сторону предметов, которая высказывается в понятии. Например, понятие «красная роза» высказывает или применяет как эмпирически-единичное содержание, так и общность — розу и красный цвет сообща. Поэтому это понятие получается суждением: «роза имеет красный цвет». Понятие есть общее; оно опирается на общность, существующую в действительности; оно есть высказывание общей стороны действительности (так, как это имеет место в суждении). Понятие человека высказывает то общее и существенное, что является основным вообще для человека. Понятие человека не есть символ всех людей; понятие не есть пропозициональная функция. Пропозициональная функция как схема сама невозможна без какой-то общности.

Понятие является общим и тогда, когда мы имеем дело с единичным понятием, поскольку общность понимается нами в смысле содержательного общего, о чем мы говорили выше. Является общей и категория, в том числе и такая, как категория единичного. Следовательно, каждое понятие является общим.

Общность понятия не означает того, что оно пустое и не подчиняет себе эмпирического содержания. Всякое содержание подчиняется понятию так, как, например, явления подчиняются закону, хотя признаки явлений не входят в закон. У Канта суждение подчиняется категории, например, общее суждение — категории единства, но это не значит, что признаки суждения входят в признаки категории. Как закон не содержит всех признаков явлений, так же и понятие не содержит признаков единичных, хотя эти последние подчиняются ему. Это, конечно, не объемное, а подчинение содержательному общему. Это обстоятельство ясно видно в понятии, если оно понимается как содержательное общее. Понятие единственного, единичного тоже есть единство его моментов.

Следовательно, понятие есть форма и оно имеет различное содержание. Это содержание объективно, поэтому понятие имеет объективное значение; для логики из содержаний понятия главным является его (понятия) собственное содержание. Содержание есть единство элементов; а форма есть определенность — способ этого единства.

Как было сказано, собственное содержание понятия полагается его определением, так же, как и вообще содержание полагается определением. Определением полагается и предметное содержание, которое выражается, высказывается понятием. Например, если содержание понятия стола полагается указанием существенных признаков стола, то и содержание понятия, как такового, полагается таким его определением, которое имеет в виду признак понятия, которым оно отличается от суждения и умозаключения.

Понятие всегда есть единство собственного содержания, поэтому и возможна его связь с другим понятием; поэтому и возможно «логическое развитие» — переход от простого к более сложному. Если бы понятие не имело содержания, то оно ничем не могло бы связаться с другими понятиями. Поэтому и является ошибкой представление понятия в виде схемы — пропозициональной функции. Представление понятия в виде схемы есть его упразднение. Возведение понятия до общности, есть его превращение не в схему, а возвышение до категории. Категория есть высшая общность.

У понятия с одним признаком (категории) есть не только один признак. Полагание содержания (одного признака) такого понятия возможно переходом в другие, — посредством других, именно тех, одно из которых необходимо предшествует ему, а другое следует за ним. Например, в «Капитале» Маркса товар предшествует деньгам, но после денег идет капитал; у Гегеля — бытие предшествует небытию, а после него идет становление, и т. д. Тождество предшествует различию, а за ним следует их единство — единство противоположностей и т. п. Один признак есть единство собственных моментов. Последующая категория содержит предыдущие в виде моментов —содержания.

Понятие всегда подразумевает различие. Это обстоятельство хорошо выражено немецким словом «Begriff». Нет пустого понятия. Если бы существовало такое, то и оно содержало бы какое-то различие; небытие с необходимостью подразумевает бытие.

 

Понятие и его признаки

 

Как было сказано, понятие не может не иметь содержания. Оно всегда имеет его. Содержание понятия есть признаки — один или много признаков. Логически они, как признаки понятия, получаются суждениями. Предикация дает признаки понятия. В суждении полагаются признаки — предикаты. Это полагание опирается на познание — на знание предмета (этим предметом может быть и само понятие). Развитие познания, знания расширяет понятие, например, понятия атома, общества и другие. Этим обеспечивается объективность понятия (в смысле истины).

Но понятие не есть сумма признаков, их совокупность, собранная путем познания предмета. Признаки понятия есть его материал, «материя», «база», на почве которого устанавливается определенное единство — одно определенное понятие. В этом единстве нет утверждения-отрицания, т.е. понятие не есть ни познавательная, ни логическая связь суждений; в этом последнем случае оно было бы умозаключением, а не понятием. В понятии снимаются и сохраняются суждения; в результате которых оно получено. Предикаты суждений сохраняются в понятии, как его признаки.

Признаки в понятии не имеют независимости, они являются его моментами; в противном случае, признаки сами будут понятиями — совершенно другими понятиями. Например, отдельно представленный признак понятия человека — двуногость — есть понятие двуногого, а не человека. Понятие не есть связь понятий; признание противного было бы логической ошибкой. Нельзя сказать, «понятие есть связь понятий», множество признаков одного понятия не умножает его. Понятие есть одно, одно для множества признаков. Признаки составляют одно-неделимое понятие. Одно, неделимое понятие имеет много признаков.

Понятие может иметь бесчисленное множество признаков, как например, понятия философии, науки, действительности. Понятие науки, содержащее все его признаки, никогда не установится; но это не значит, что нет или невозможно полное понятие науки. В логике с начала же известие, что для определения понятия не необходимы все признаки, достаточно нескольких. Например, для определения понятия человека достаточно двух признаков: 1) животного и 2) создания орудий труда; понятие человека определяется так: человек есть животное, делающее орудия труда. Нельзя исчерпать понятие действительности вопреки Гегелю, который для установления абсолютного знания стремился к исчерпанию понятия абсолюта, но для его определения достаточно и одного признака, именно, признака независимого от сознания существования. То же относится и к другим понятиям.