Понятие непосредственного умозаключения в математической логике

 

Сказанное в предыдущем параграфе прямо относится к понятию непосредственного умозаключения в математической логике. В исчислении предложений суждения связь суждений представлена как одно нераздельное предложение, все равно, является оно действительно непосредственным умозаключением или опосредствованным. Предложение взято без всякого внутреннего различия, как единое. Обращают внимание только на признак истинности. Так представлен, например, силлогизм, который выражается так: «если А есть В и В есть С, то А есть С»; разделение умозаключения на посылки и заключение означает отсутствие связи (например, для Лукасевича)[110]; но здесь все сводится к предложению, т.е. пропущено именно логическое; у умозаключения нет соответствующей специфической формы в грамматике.

В исчислении предложений суждение и умозаключение сводятся к условному предложению, которое в более точной форме равняется разделительному. То, что в старой логике считается четырьмя модусами непосредственного умозаключения, здесь представляет четыре предложения, из которых ложно только одно (согласно аристотелевским положениям, как это было указано и выше): 1) если А ложно, то В истинно, 2) если А истинно, то В истинно, 3) если А ложно, то В ложно, 4) если А истинно, то В ложно. Ложно только это последнее, а остальные предложения истинны. В математической логике эти положения понимаются не как логическое осново-следственное, а только как функциональное отношение, хотя для определения истинности и ложности предложений применяется старое правило, именно, положение Аристотеля о том, что из истинного ложное не выводится.

Во взаимоотношении контрадикторных суждений, при истинности одного второе ложно и наоборот. Здесь тоже нет такого осново-следственного отношения, где из истинного не выводится ложное.

В математической логике место умозаключения занимает импликация; импликация А→В есть сокращенное выражение отношения ĀvB; здесь оставлено без внимания отношение основания-следствия, главное для которого: если есть основание, то есть и следствие, но невозможно: или отрицание основания или следствие, так как следствие есть следствие именно основания; умозаключение может быть правильным, независимо от истинности или ложности основания и следствия; поэтому истина умозаключения не зависит от истинности-ложности его компонентов. В этом смысле умозаключение не является функцией истинности. Умозаключение есть логическое осново-следственное, а не функциональное отношение.

Примерами непосредственного «умозаключения» математической логики могут служить следующие: 1) из х·у, как из посылки, получается х→у, как заключение — «логическое следствие», 2) из аксиомы xvx→х следует /xvx/ → /х/, что означает: если у каждой вещи есть свойство xvx (принадлежность сумме классов х и х), то у каждой вещи имеется и свойство х (принадлежность классу х); 3) из аксиомы х→хvy вытекает всегда истинная формула (т.е. такая, которая истинна, независимо от ложности или истинности ее компонентов /х/ → /xvy/, что означает: если объем предиката х содержит все предметы, то и объем предиката xvy содержит все предметы.

«Непосредственное умозаключение» означает превращение: частное «суждение» превращается в общее, например, «некоторые предметы красны», означает: «не все предметы некрасны»; «некоторые числа нечетны» — может быть выражено: «неверно, что все числа являются четными»; утверждением «некоторые х суть у» мы отрицаем, что «ни один х не есть у»; утверждением «некоторые х суть не у» мы отрицаем, что «все х суть у». Каждое частное предложение можно рассмотреть, как отрицание какого-нибудь общего.

В математической логике общее суждение не имеет зкзистенциональной интерпретации, поэтому из обще-утвердительного суждения нельзя получить частно-утвердительное. Если предикат А имеет силу для всех предметов, то это обозначается так: /А/; если от предиката А перейдем к /А/ и будем отрицать его, то получим частно-отрицательное суждение. Если мы отрицаем предикат А и переходим от Ā к предложению /Ā/, то получим отрицательное суждение.

Получение формул из аксиом, посредством правил умозаключения, происходит всегда в виде «непосредственных умозаключений», кроме правил умозаключения, которые являются металогическими; т.е. в системе «логики» осуществляются только непосредственные умозаключения, но это осуществление возможно только посредством правил умозаключения, и в этом смысле, опосредствованно (об опосредствованных умозаключениях будет речь в последующем).

В математической логике непосредственное умозаключение определяется следующим образом. В традиционной логике непосредственное умозаключение означает вывод из одного суждения, как из посылки, второго суждения, как заключения. Здесь имеется отношение основания-следствия; в математической же логике «непосредственное умозаключение» понимается по другому: это такое умозаключение, которое осуществляется однократным применением одного из правил умозаключения[111]. Это превращение одной формулы в другую, когда имеется не отношение основания-следствия (что является главным влогике), а функциональное отношение, функция истинности. Но, как было сказано, превращение одной формулы в другую осуществляется только применением правил умозаключения, т.е.осуществляется всегда опосредствованно.

Следует отметить, что в математической логике имеются попытки формализации отношения основания-следствия, как «строгой импликации» (Люис и его последователи), но эти попытки пока-что не дают определенных результатов. Логическое отношение основания-следствия есть внутренняя необходимая выводимость-связь, формализация чего упразднит ее; поэтому формализация такой связи невозможна. Правильное понятие умозаключения заранее подразумевается при всякой формализации. Математическая логика есть применение общей логики (об этом будет речь ниже).

 

Логический смысл «если-то»

 

Как было выяснено выше, смысл «если-то» непосредственно вытекает из природы суждения.

«Если-то», прежде всего, есть условное положение, как принцип непосредственного умозаключения; оно есть вообще принцип формально-логического умозаключения. Логический смысл «если-то» есть смысл отношения основания-следствия и, ясно, не сводится к разделительному отношению; «если А, то В» не то же самое, что «А или В», как это имеет место в математической логике. В математической логике «если-то» понимается не содержательно, а с точки зрения функции истинности; оно обозначает отношение между значениями истинности, а не отношение основания-следствия между суждениями, как это имеет место в общей логике, а именно в традиционной формальной логике.

Как это выяснилось при рассмотрении категорий логического, основание есть определяющее, а следствие — определяемое, основание есть доказывающее, а следствие-доказываемое. Полаганием основания полагается следствие. Основание есть полагание, а следствие — полагаемое. Связь между ними есть не что иное, как логическое полагание.

«Если-то» есть условное отношение, именно отношение между логическим условием, как основанием, и его следствием; но сама связь безусловна, поскольку она по своей природе логически необходима. В «если-то», как логической связи, с необходимостью есть нечто безусловное, в противном случае, логическое не могло бы существовать. Условность «если-то» имеет логически-объективный характер.

В формальной логике (как в традиционной, так и в математической) невозможно обращение «если-то», нельзя сказать «если есть следствие, то есть и основание»; положительно-регрессивный модус условного умозаключения, как известно, считается ошибочным. Если бы в формальной логике это обращение было возможным, то опасности регресса в бесконечность, вызываемой необходимостью доказательства основания, можно было бы избежать и без апелляции к аксиомам. Если есть возможность оправдать положение «если есть следствие, то есть и основание», то основание в какой-то мере доказывается и нет нужды в аксиомах, нет регресса в бесконечность. Именно невозможность подобного обращения в формальной логике ставит ее перед опасностью регресса в бесконечность и вынуждает ее прибегнуть к аксиоматическому методу, пытаться остановить этот регресс аксиомами, т.е. положениями, недоказанными и недоказуемыми; т.е. формальная логика вынуждена оправдывать доказательство недоказуемым, что и ставит ее, как это подробнее будет показано ниже, в безвыходное положение; это противоречие доказательства и недоказательства.

Если «если-то» есть такой принцип мышления, которым снимается безусловное, т.е. если здесь имеется только условное отношение, то как должна быть принята иди допущена первичность аксиом, как определенная безусловность? По-видимому, это должно быть осуществлено интуицией (аксиомы считаются интуитивными положениями); но ведь интуиция есть нелогическое состояние? Ведь логическая связь нелогического с логическим создаст безвыходное противоречие?

Если отношение основания-следствия таково, что вышеуказанное обращение возможно, т.е. если вместе с положением «если А, то В», правомерно и «если В, то А», то здесь должна быть безусловность, которая является определенным самоутверждением. Следовательно, можно сказать, что смысл «если-то» оправдывается, если возможно логическое безусловное, как определенное самоутверждение (это обстоятельство в последующем будет рассмотрено специально). Как было сказано, «если-то» не может не содержать момента безусловного, в противном случае здесь не было бы логического, логической необходимости.

Необходимость осново-следственного отношения как логическая необходимость, снимается, если «если-то» сводится к разделительному отношению, а именно, к такому отношению, которое применяется в математической логике, когда разделительность не тождественна взаимоотрицанию. Если «или-или» понимается как взаимоотрицание, то и тогда нет полноты осново-следственного отношения, поскольку «отрицание истинности основания или истинность следствия» не исчерпывает осново-следственной связи. С другой стороны, взаимоотрицание требует взаимоутверждения, а это последнее — самоутверждения, которое будет рассмотрено в последующем на основе уже рассмотренных законов.

 

§ 120. Переход как непосредственное умозаключение

 

Из природы суждения непосредственно вытекает, что логический переход есть умозаключение. Переход от одного суждения ко второму, переход от одной категории, или от одной формы мысли к другой, например, переход от суждения к умозаключению, есть непосредственное умозаключение.

«Переход», конечно, не надо понимать в буквальном (напр., в пространственном) смысле. Логический переход есть синтетическая, необходимая связь какой-либо мысли с отличной от нее мыслью.

Для диалектической логики очень важны положения В. И. Ленина о логическом переходе. Приведем несколько из них: 1) Начало положительно, но необходимо различие, связь, переход. Здесь имеется диалектика — связь положительного и отрицательного[112]. Это положение говорит именно о том, что переход есть синтетическая связь, связь, содержащая различие, начало которой является положительным, с которым с необходимостью связывается отрицательное, т.е. связь имеет диалектическую природу. 2) Главное связь, переход, тождество противоположностей[113]. 3)Диалектика состоит в переходе понятий друг в друга, всех понятий, без исключения. Каждое понятие находится в определенной связи — в отношении к другому[114]. Здесь, ясно, идет речь о диалектике понятий, о диалектико-логических переходах. 4) Понятие, по своей природе, равняется переходу[115]. Здесь, главным образом, имеется в виду категория, как понятие, определение которого есть переход к другому (этот вопрос будет рассмотрен ниже — при рассмотрении понятия). 5) Переход конечного в бесконечное есть их связь. 6) «Момент» означает момент связи (например, суждение, понятие являются моментами умозаключения. 7) Существует движение понятий, их связь, взаимопереходы[116]. В старой логике нет переходов внутренней необходимой связи[117]. Здесь имеются в виду взаимные переходы форм мысли, их субординация. Логический переход есть внутренняя необходимая связь. 8) Обыкновенное представление находит различие, противоречие, но не переход от одного ко второму, а это имеет самое большое значение[118] и т.д.

Мы привели эти положения В. И. Ленина потому, что некоторые советские логики отрицают логический переход, считают логические переходы невозможными, тогда как методом всех наук и, в частности, логики считают метод материалистической диалектики.

Непосредственные умозаключения осуществляются во взаимосвязи видов суждения; например, в переходе утвердительного суждения в отрицательное; как было выяснено выше, утвердительное суждение переходит в отрицательное с логической необходимостью, поскольку первое, как суждение синтетическое, содержит момент отрицания, который должен оформиться отрицательным суждением. Их единство, чего требует положительное суждение, будет уже переходом в умозаключение, как в единство противоположных суждений. Каждый логический процесс есть переход, являющийся непосредственным умозаключением. Логический процесс, ясно, есть не психологический процесс, анеобходимая связь одной мысли с отличной от нее мыслью; логический процесс есть такая связь, в которой осуществлена необходимость одной мысли для другой.

Непосредственное-умозаключение имеет место при каждом логичес­ком переходе, но последние отличаются друг от друга той или иной полнотой, именно, в том смысле, что не каждая синтетическая связь — т.е. переход есть переход в противоположное или в противоречащее. Переход к отличному неполон, конечно, не в смысле его частичности, а в том смысле, что различие не исчерпывает природу перехода; переход от чего-либо к отличному от него оставляет еще возможность перехода к чему-то другому; переход же в противоречащее исключает другую возможность, поскольку, как известно, противоречие имеет две стороны. «Все люди смертны», как посылка, дает заключение: «Некоторые смертные люди»; «все люди животные», пригодно как посылка для другого умозаключения и, т.д.; но «частное есть общее» непосредственно переходит в противоположное — «частное не есть общее» и т.д.