Классическая логика предикатов. Язык и семантика клп.

Логика предикатов — это раздел символической логики изучающий рассуждения и другие языковые контексты с учётом внутренней структуры входящих в них простых высказываний, при этом выражения языка трактуются функционально, то есть как знаки некоторых функций или же как знаки аргументов этих функций.

Наиболее фундаментальный статус имеет классическая односортная логика предикатов первого порядка. Её язык задаётся следующим образом. В алфавит вводится некоторая функционально полная система пропозициональных связок, например {, ∧, ∨, ⊃} (где — это знак отрицания, ∧ — это знак конъюнкции, ∨ — это знак дизъюнкции, ⊃ — это знак материальной импликации), а также кванторы ∀ и ∃ (имеется возможность выбрать в качестве исходного символа языка лишь один из этих кванторов, другой может быть введён по определению). В алфавите содержится также бесконечный список предметных переменных (x, y, z, x ₁, …) Среди нелогических символов обязательно наличие непустого множества предикаторных констант — аналога предикаторов естественного языка (будем использовать для них символы P ⁿ, Q ⁿ, R ⁿ, P ₁ⁿ, … где верхний индекс n — натуральное число, указывающее на местность предикаторной константы). Кроме этого в алфавит могут быть введены нелогические символы других типов: предметные константы (α, β, c, α ₁, …) — аналоги собственных имён (знаков отдельных предметов) естественного языка, например, «Москва», «Луна», «медь», а также предметно-функциональные константы различной местности (f ⁿ, g ⁿ, h ⁿ, f ₁ⁿ, …) — аналоги предметных функторов (знаков таких функций, аргументами и значениями которых являются индивиды, например, «+», «возраст», «расстояние от… до…»). Иногда в алфавит языка логики предикатов добавляют пропозициональные переменные (p, q, r, p ₁, …) — аналоги простых высказываний естественного языка, исходя из буквального понимания тезиса о том, что логика предикатов является расширением логики высказываний. Однако данное добавление не является необходимым: при желании в качестве пропозициональных переменных можно разрешить использование нульместных предикаторных констант. Техническими символами алфавита являются левая и правая скобки и запятая.

Выражением языка логики предикатов называется любая конечная последовательность символов её алфавита. Некоторые из этих выражений являются правильно построенными, а некоторые нет. В логике предикатов имеется два типа правильно построенных выражений — термы и формулы.

Понятие «терма» вводится следующим индуктивным определением: (1) всякая предметная переменная — терм; (2) всякая предметная константа — терм; (3) если Φ — n -местная предметно-функциональная константа, и t ₁, t ₂, … t _n — термы, то выражение Φ (t ₁, t ₂, … t _n) является термом; (4) ничто иное термом не является. Среди термов различают простые (указанные в пунктах (1) и (2) данного определения), и сложные (указанные в пункте (3)), а также замкнутые (не содержащие в своём составе предметных переменных) и незамкнутые (содержащие переменные). Замкнутые термы являются аналогами имён естественного языка (как простых, так и сложных), а незамкнутые — аналогами так называемых именных форм (выражений с переменными, которые могут быть преобразованы в имена с помощью подстановки конкретных имён на места переменных, например, «рост x», «x × 5», «разница в возрасте между x и y»).

Понятие формулы также определяется индуктивно:

1. если Π — n -местная предикаторная константа, и t ₁, t ₂, … t _n — термы, то выражение Π (t ₁, t ₂, … t _n) является формулой;

2. если Α — формула, то Α — формула;

3. если Α и Β — формулы, то выражения (Α ∧ Β), (Α ∨ Β), (Α ⊃ Β) также являются формулами;

4. если Α — формула, и α — предметная переменная, то выражения ∀ αΑ и ∃ αΑ также являются формулами;

5. ничто иное формулой не является. Внешние скобки в формулах обычно опускают.

Следует отметить, что в определениях терма и формулы используются так называемые синтаксические переменные (Α, Β, α, t ₁, t ₂, … t _n, Φ, Π) — переменные метаязыка, пробегающие по различным типам выражений объектного языка.

Формулы, соответствующие пункту (1) определения, называют простыми, или атомарными, а все остальные формулы (которые содержат по крайней мере один логический символ) — сложными, или молекулярными.