Расположения двух прямых в пространстве

 

Даны две прямые:

с направляющим вектором

с направляющим вектором

 

1. Пусть (а ₁)   (а ₂), тогда  скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. , т.к. известны координаты векторов, то можем найти скалярное произведение как           – условие перпендикулярности двух прямых.         (5)

 

2. Пусть (а ₁)   (а ₂), тогда  координаты пропорциональны, т.е.

 – условие параллельности двух прямых.                          (6)

 

3. Пусть (а ₁) и (а ₂) пересекаются.

Угол между прямыми будет равен углу между направляющими векторами прямых, следовательно, его можно найти с помощью скалярного произведения:

     ,                                            (7)

если , то получили острый угол , если , то получили тупой угол .

4. Условие, при котором прямые принадлежат одной плоскости:

Точки , . Прямые ,  лежат в одной плоскости, если векторы ,  и компланарны. В этом случае их смешанное произведение равно нулю:

.

При выполнении этого условия прямые либо пересекаются, либо параллельны (п.3. и 4).

5. Прямые   и  в пространстве могут скрещиваться, т.е. они не быть  параллельными и не пересекаться (не принадлежать одной плоскости). В этом случае можно найти расстояние между прямыми.

 

 

d

Расстояние d между скрещивающимися прямыми  и  является высотой параллелепипеда h, построенного на векторах ,  и , а т.к. , то

 

Пример (к п.4 и п.5). Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую   параллельно прямой .

Решение.

 

М

1 способ.

М 0

 

 

α

Направляющий вектор прямой, лежащей в плоскости: .

Направляющий вектор прямой, параллельной плоскости: .

Точка  лежит на прямой, лежащей в плоскости. С помощью параллельного переноса перенесем вектор на плоскость. Найдем три вектора, лежащие в данной плоскости: это два известных  и  и один неизвестный. Для построения последнего рассмотрим текущую точку плоскости М (х, у, z). Построим вектор .

Три вектора компланарны только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:

                                    .

Вычислим определитель, разложив по первой строке: .

Ответ: .

α

2 способ.

Направляющий вектор прямой, лежащей в плоскости, .

α

М 0

Направляющий вектор прямой, параллельной плоскости, .

Точка  лежит на прямой, лежащей в плоскости.

С помощью параллельного переноса перенесем вектор на

плоскость. Нормальный вектор плоскости перпендикулярен плоскости, а, значит, перпендикулярен любым векторам, лежащим в этой плоскости, в частности  и , тогда для того, чтобы найти вектор , надо найти векторное произведение векторов  и : ;  или .

Точка  лежит на прямой, лежащей в плоскости, следовательно, точка лежит и на плоскости. Тогда, уравнение плоскости имеет вид:

. Тогда ответ: .