Решение прямоугольных треугольников

                      

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90

 

Теорема Пифагора

 

         

 

Пифагоровы тройки:

 

3, 4, 5         6, 8, 10        9, 12, 15      3n, 4n, 5n (n – натуральное число)

  5, 12, 13                                                               5n, 12n, 13n и другие.

 

Тригонометрические функции углов

         

 

   

 

В                                             

                                                                                          

                                                    

 С                                   А    

            

 

Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы противоположены

 

 

      

 

     - основное тригонометрическое тождество

 

      

 

                            

 

2). Опорные прямоугольные треугольники

30

45

Нахождение всех функций углов прямоугольного треугольника по одной из них

В                                                   

                                                                                          

2х                

 С                      А              А

                                                      

                          

В                                                

                           

Х                                                                    

                                                       

С                                    А

             х                                        

                                                        

Образцы решения задач

1. В прямоугольном треугольнике ABC . 

Найти и

 

D

B                                                                 Если .  

                                        Тогда   C                                   A              и

 

 

2. В прямоугольном треугольнике , катет BC равен 9. Найти длину гипотенузы AB.

 

Т.к. дан противолежащий катет, надо найти  

 

 

 

 

        =  

 

    Т.к.               

 

 

3. В равнобедренном треугольнике АВС АС = ВС = 10, АВ = . Найти  

                                                   С

А           

А

 

 

 

                                10                             

 

 

              А         4      H                              В

                                                     

Проведем высоту CH и рассмотрим ACH   

 т.к. АВС равнобедренный АН = HВ  = 4

  Чтобы найти , надо найти противолежащий катет СН

 

                СН =  

                            

 

  4.  В прямоугольном треугольнике катет ВС = 2. Найти длину высоты СН, опущенной на гипотенузу.

 

 

В                                                        1 способ: в   

                      H

                                                                   

2

                                                                  СА =

 

   С                                          А           СН  =  

 

      2 способ:       в ВСН

                                          СН =

 

 

 

  5. Элементы фигур

 

Признаки равенства прямоугольных треугольников

 

 Два прямоугольных треугольника равны, если у них равны:

      а) катет и гипотенуза

      б) гипотенуза и острый угол   

 

                     

Соотношение в прямоугольном треугольнике

                     

Описанные и вписанные треугольники

Положение центра окружности.

а). Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

    Радиус вписанной окружности – перпендикуляр, опущенный из этой точки на сторону треугольника.

 

б). Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

    Радиус описанной окружности –отрезок, соединяющий центр окружности с вершиной треугольника

 

в). В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружностей совпадают

 

 

. 2). Формулы радиусов окружности

 

а) равносторонний треугольник       б) прямоугольный треугольник

 .

       

       

 

в) разносторонний треугольник

                        

       

Опорные задачи.

1). Свойство медианы в прямоугольном треугольнике:

  медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

если СМ – медиана

  CM = AB   или  CM = AM = MB = R

  М – центр описанной окружности   

            

 

2). Свойство высоты в равнобедренном прямоугольном треугольнике:

высота в равнобедренном прямоугольном треугольнике равна половине       

гипотенузы (т. к. высота в равнобедренном треугольнике является и медианой)

   

        А

                          М                            СМ - высота

                                                 CM = AB   или  CM = AM = MB = R                                         

        С                        В         = 45    

 

3) Свойство биссектрисы треугольника:

 

биссектриса треугольника делит противоположенную сторону на