Для объектов с самовыравниванием

 

 

 

Тип регулятора                                           Оптимальный переходный процесс

                         ____________________________________________________________________________ 

 

                          апериодический          колебательный с 20 % - ным     колебательный с мини-

                                                                  перерегулированием                    мальной площадью

 

 

П                               K _P =                       K _P =                      K _P =

ПИ                    K _P =                      K _P =                      K _P =

                T _И  = 0,8 0,5 T           T _И = 0,3 T            T _И =   0,35 T

ПИД                  K _Р  =                     K _P =                     K _P =

                        T _И    = 2,4                  T _И = 2,0                T _И = 1,3

                           T _ДИФ = 0,4                T _ДИФ = 0,4                T _ДИФ = 0,5

 

Построение переходных процессов. Построение переходных процессов в САУ,

вызванных основными для данной системы воздействиями, является завершающим этапом исследования системы. Существуют две группы методов построения пере-ходных процессов: аналитические и графические с использованием частотных характеристик.

Аналитические методы основаны на решении дифференциального уравнения системы. Общая методика решения дифференциальных уравнений приведена в раз-деле 2.2.5. В качестве конкретного примера рассмотрим построение переходного процесса по возмущающему воздействию при регулировании уровня ёмкости.

САУ описывается следующими уравениями:

Уравнение объекта –

                                          + H = K _Y S _Y + K _B S _B.                    (2.125) 

                            

Уравнение ПИ – регулятора –

                                     =  .                        (2.126)

Уравнение исполнительного механизма –

 

                                          S _Y = P _Y  .                                 (2.127)

 

Подставляя значение S _y  в уравнение (2.125), получим

 

                             +  +  +  =  .      (2.128)

 

После дифференцирования имеем уравнение системы регулирования

 

                             +  +  =  .     (2.129)

 

Допустим, что в некоторый момент t = 0 возникло ступенчатое возмущение 

S _B = 1.

Начальные условия:

                                    =  .                               (2.130)

 

Последнее условие получено из уравнения (2.128) при t = 0 и S _B = 1.

Характеристическое уравнение системы (2.129) имеет вид

 

                                    +  +  = 0.               (2.131)

 

Корни уравнения (2.131) равны

 

                            =  ,     (2.132)

 

Если корни    вещественные, то решение дифференциального уравнения имеет вид

                                      =  .                             (2.133)

 

Постоянные интегрирования С  и С  определим из начальных условий.

При t = 0 из уравнения (2.133) имеем

 

                                               0 = С  + С  .                                  (2.134)

 

Дифференцируя уравнение (2.133) при t = 0 имеем

 

                                              =  +  .                             (2.135)

 

Из уравнений (2.134) и (2.135) определяем С и С

 

                                               = -  =  .                              (2.136)

 

Подставляя значения С и С в уравнение (2.133) окончательно будем иметь решение в виде

                                         =  .                         (2.137)

 

По уравнению  (2.137)  может  быть  построен  график переходного процесса (рис. 30.)

                           

                      

Рис. 30.

 

Графические методы построения переходных процессов основаны на примене-нии частотных характеристик.

Амплитудно-фазовую характеристику замкнутой САУ можно представить в виде       

                                    =  +  .                         (2.138)

 

Переходная функция связана с действительной частотной характеристикой выра-жением

                                       =  .                           (2.139)

 

С помощью выражения (2.139) можно построить искомую переходную функцию h(t) путём графического нахождения входящих в неё интегралов по заданному гра-фику частотной характеристики U (). Методика такого построения, разработан-ная В.В. Солодовниковым, называется методом трапеции. Действительную харак-теристику U () заменяем ломаной линией (рис.31,а). В результате U () пред-ставляем алгебраической суммой нескольких трапеций U () (трапеции 1 – 3 на рис.31,б). Соответственно искомую переходную характеристику h(t) можно запи-сать в виде алгебраической суммы нескольких составляющих, каждая из которых определяется одной из трапеций, т.е.

 

                                                =  ,                                  (2.140)

где

                                            =  .   

 

 

Рис. 31. Построение переходной характеристики.

 

 

Для характеристики, изображённой на рис.31.а, получаются три трапеции: трапе-ция 1 входит в сумму (2.140) со знаком плюс, а трапеции 2 и 3 со знаком минус.

Построение отдельных составляющих h (t) осуществляется с помощью специальных таблиц переходных функций h(), рассчитанных для нормированных трапеций. Нормированные трапеции имеют параметры U (0) = 1, = 1, и, таким образом, каждая характеризуется одним варьируемым параметром  = / , который может иметь значение от нуля (трапеция превращается в треугольник) до единицы (трапеция превращается в прямоугольник).

Для каждой составляющей характеристики находим три определяющих её пара-метра: высоту U (0) и частоты  и  (рис.31,в). По значениям  и  вычисляем коэффициент  = /  и в таблице находим соответствующую ему функцию . Искомую составляющую  получаем из этой функции путём умножения ординат  на величину  и деления абсцисс  на величину .