Системы лоду с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод для случая вещественных различных корней).

 

Система ЛОДУ с постоянными коэффициентами:

где ; .

Матричная форма:

Найдем решение вида , где .

Подставим в :

,

 т.е.  - собственное значение матрицы ;  – соответствующий собственный вектор.

Опр. Характеристическим уравнением системы ЛОДУ с постоянными коэффициентами   называется характеристическое уравнение , где .

Построение ФСР для системы по корням характеристического уравнения.

1. Случай различных действительных корней.

Пусть  - различные корни характеристического уравнения (т.е. собственные значения матрицы ),

  – соответствующие собственные вектора.

Тогда вектор-функции  образуют ФСР для системы .

Док-во: нужно доказать, что частные решения линейно независимы.

Вронскиан , т.к. собственные вектора линейно независимы (как собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям), т.е. столбцы матрицы линейно независимы.

.

Пример.

.

(можно использовать, что для матрицы 2Х2

Найдем собственные значения.

; собственный вектор  находим из СЛАУ

,

,

.

; собственный вектор  находим из СЛАУ

,

.

ФСР: ,

,

.

2. Случай кратных действительных корней.

Пусть  - корень характеристического уравнения кратности . Ему соответствует решение вида

 – многочлен степени . Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов.

Пример.

Ищем решение в виде

Подставим в систему:

Коэффициент при  в 1-м уравнении:

Коэффициент при  в 1-м уравнении:

Коэффициент при  во 2-м уравнении:

Коэффициент при  во 2-м уравнении: . Получаем СЛАУ

3. Случай комплексных корней кратности 1.

Пусть  – корень кратности 1 . Паре корней  и  соответствуют 2 линейно независимых решения. Пусть  – комплексный собственный вектор, соответствующий комплексному собственному значению . Он находится из СЛАУ .

.

Тогда корням  и  соответствует комплексное решение системы ДУ:

Тогда  и  – вещественные линейно независимые решения, соответствующие корням  и .

Пример.

,

Найдем собственный вектор   соответствующий :

,

 (второе уравнение пропорционально первому с коэффициентом ),

,

 

Литература

1. Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1988.-506 с. (Сер. Математика в техническом университете. Вып. VI).

2. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997.- 336 с. (Сер. Математика в техническом университете. Вып. VIII).

3.  Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. -М., Наука, 1981.

4.  Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1981.

5. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.:УРСС, 2004.