Сравнение бесконечно малых функций

 

Определение 1. Пусть функции  и  бесконечно малые при .

Если , то  бесконечно малая более высокого порядка малости, чем .

Если , то  и  – бесконечно малые одного порядка малости.

Если ,то  бесконечно малая более низкого порядка малости, чем .

Если  не существует, то  и  несравнимые бесконечно малые.

Примеры:

1)

2)

3)    (вследствие примера 1)

4)  - не существует

Определение 2. Функцию  при  называют функцией первого порядка малости;

функцию  при  называют функцией второго порядка малости;

 функцию  при  называют функцией n - го порядка малости.

Определение 3. Если , где ,  бесконечно малые при , то  и  называются эквивалентными бесконечно малыми при .

(обозначение ~ )

Теорема. Пусть функции , , ,  бесконечно малые при . При этом  ~ ,  ~  при  и . Тогда .

Доказательство:

 

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

 

Пределы  и  принято называть первым и вторым замечательными пределами ввиду их важности в дальнейших приложениях.

Теорема 1. Предел  существует и равен единице.

 ~  при

Доказательство:

Рассмотрим единичную окружность, пусть  - угол ().

,

,

,

,

.

Получаем неравенство , т.е. .

Поделим последнее неравенство на :

.

 

Отсюда следует

.                                      (*)

Так как  и  – чётные функции, то неравенство (*) выполняется для , т.е. (*) имеет место в проколотой окрестности .

Так как ,  и выполняется (*), то  (по теореме о пределе промежуточной функции).

Примеры:

1)  ~  при

2)  ~  при

 ~   при

 ~  при

3)  ~  при

замена: , ,

4)  ~  при

замена: , ,

 

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

 

Теорема. Функция  стремится при  к пределу e:

 (неопределённость ).

Обозначим , . Тогда

.

Таким образом, .

 

Некоторые примеры пределов функций.

1)

Доказательство:

Следствие 1. Пусть , тогда , т.е. ~  при .

2)

Доказательство:

,        замена: ,

Следствие 2. Пусть , тогда , т.е.  ~  при .

3)

Доказательство:

,

,

По следствию 1  ~  при .

Следствие 3. , т.е.  ~  при .

 

Тема 5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

 

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ

 

Если при нахождении предела рассматривать значения x только слева от точки a, то такой предел называется левым или левосторонним и обозначается

.

а если рассматривать значения x только справа от точки a, то такой предел называется правым или правосторонним и обозначается

.

Из этих определений следует, что если существует предел

,                                          (1)

то существуют и односторонние пределы, причём

.                                  (2)

Верно и обратное утверждение: если имеет место (2), то имеет место и (1).

Пример:

Найти односторонние пределы функции   в точке . Существует ли у этой функции предел при ?

;

;

 - не существует.

 

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.