Корреляционный анализ случайных процессов

 5.1. Описание и классификация случайных процессов

   Опр. Случайный процесс ξ – это функция двух аргументов ξ = ξ(t,ω): . В качестве аргумента t чаще всего выступает время, тогда T = [0, ). Процессы с многомерным Т называются случайными полями. Часто приходится рассматривать комплексные процессы ξ(t,ω):  и векторные процессы ξ(t,ω): . 

  Случайная величина ξ(t ₀,ω) называется сечением процесса в момент t ₀. 

  Функция времени ξ(t ₀,ω₀) называется траекторией или выборочной функцией процесса.

  Случайный процесс задается семейством своих конечномерных распределений

где t ₁,…, t_k , A ₁,…, A_k - борелевские множества из области значений процесса.

  Конечномерные распределения должны обладать следующими свойствами:

1. При любых фиксированных t ₁,…, t_k  семейство функций является совместным распределением k –мерного случайного вектора.

2.  для любой перестановки i ₁,…, i_k.

3. Если X – область значений процесса, то

Опр. Случайный процесс называется нормальным или гауссовым, если все его конечномерные распределения являются нормальными.

Математическое ожидание и корреляционная функция

Опр. Математическое ожидание:

           Корреляционная функция:

          Дисперсия:

    Для комплексных процессов

  Опр. Случайный процесс называется нормальным или гауссовым, если все его конечномерные распределения являются нормальными.

   Теорема. Гауссов процесс полностью определяется своими математическим ожиданием и корреляционной функцией.

      Действительно, пусть процесс ξ(t) – гауссов, для него заданы его a (t) и K (s, t). Рассмотрим последовательность моментов времени t ₁< t ₂<…< t_n и соответствующий случайный вектор   Он заведомо является гауссовым,

:

Для двух процессов рассматривается еще их взаимная корреляционная функция

Свойства корреляционной функции

1.  для комплексных процессов

2. Для любых t ₁,…, t_n из T и любых z ₁,…, z_n из С

Такие функции называются неотрицательно определенными ядрами.

Действительно,

3. Теорема. Если a (t) – произвольная, а K (s, t) удовлетворяет на условиям 1,2, то существует гауссов случайный процесс ξ(t), для которого

M ξ(t) = a (t), K _ξ(s, t) = K (s, t).

4. . 

Это следует из очевидного неравенства a ²+ b ²  2 ab.

5.

Это следует из неравенства Коши-Буняковского

6. Если K (s, t) непрерывна на диагонали, т.е. K (s, s) непрерывна, то она непрерывна во всех точках .

Действительно,

.

Аналогично доказывается, что если K (s, t) дифференцируема на диагонали, т.е. K (s, s) дифференцируема, то она дифференцируема во всех точках .

7. K _ξη(s, t) непрерывна тогда и только тогда, когда непрерывна K _ξη(s, s);

8. K _ξη(s, t) дифференцируема тогда и только тогда, когда дифференцируема K _ξη(s, s).