Функции нескольких переменных, предел

Пусть каждой точке M (x ₁, x ₂,..., x _n)Î V Ì Rⁿ сопоставлено число y. Тем самым, определена функция n переменных y = f (M) или y = f (x ₁, x ₂,..., x _n) - основной объект изучения в дальнейшем. Используется и такое обозначение: f: V ® R. Рассматривается и более общий объект - семейство таких функций f =(f ₁, f ₂,..., f_m). Тем самым определяется отображение f: V ® R^m.

Особое место в математическом анализе занимают линейные функции - они изучаются в линейной алгебре.

Напомним, что линейная функция f Rⁿ:® R имеет вид , где a_i - некоторые числа, среди которых есть отличные от 0. Линейное отображение f: Rⁿ ® R^m представляется как совокупность линейных функций  Линейное отображение удобно записывать в матричной форме. Введем в рассмотрение матрицы

Линейное отображение имеет вид:

Следующий класс функций f: Rⁿ ® R - многочлены, для двух переменных это сумма слагаемых вида ax^py^q (одночленов), где p, q - натуральные числа (включая 0), например, 3 x ³ y ²-5 x ⁴ y +10 x +1. Степенью одночлена называется (в рассмотренном случае) p + q, степенью многочлена - максимальная из степеней одночленов-слагаемых. Многочлены степени 2 называются квадратичными. Чем так полезны многочлены? С одной стороны, их легко вычислять (из «полуфабрикатов» - переменных и коэффициентов - они вычисляются с помощью трех арифметических операций), с другой стороны, их настолько много, что ими можно приблизить в определенном смысле любую непрерывную (см. далее) функцию на компактном множестве. Важную роль играют также дробно рациональные функции, т.е. отношения многочленов, например, . Для вычисления этих функций надо использовать деление. Зато ими можно приблизить и некоторые разрывные функции.

Для большего числа переменных все аналогично.

Важной операцией над функциями (отображениями) является суперпозиция (композиция). Если  - некоторые отображения (для простоты считаем, что они определены на пространствах целиком), то определено отображение действующее по правилу  при M Î Rⁿ. Важно иметь в виду, что суперпозиция линейных отображений линейное отображение, причем его матрица является произведением матриц исходных отображений.

Далее сосредоточимся на случае f: Rⁿ ® R. Определение предела функции аналогично первой части курса. В то же время, как мы увидим, отличия в свойствах весьма существенные.

Определение 8. Число A называется пределом функции f (M) в точке M ₀ из (проколотой, т.е. без точки M ₀) области определения функции, если для любой последовательности точек { M ⁽¹⁾, M ⁽²⁾,..., M ^{( k )},...}, сходящейся к M ₀ (M ^{( k )}¹ M ₀), числовая последовательность { f (M ⁽¹⁾), f (M ⁽²⁾),..., f (M ^{( k )}),...} сходится к A. Здесь использованы два понятия предела: многомерной и числовой последовательностей.

Альтернативное определение.

Определение 8'. Число A называется пределом функции y = f (M) в точке M ₀ из (проколотой) области определения функции, если

("e>0) ($d>0): (M Î U _d(M ₀)\{ M ₀})Þ(| f (M) - A |<e).

Обозначения предела: . Последнее обозначение приведено для функции двух переменных, M ₀(x ₀, y ₀).

Если для какого-либо понятия дано несколько определений, возникают два вопроса. Во-первых, зачем это надо, во-вторых, правда ли, что определено одно и то же? Ответ на первый вопрос прост: для удобства. В некоторых ситуациях проще использовать одно определение, в некоторых другое. Для ответа на второй вопрос требуется доказательство.

Теорема 4. Определения 8 и 8' эквивалентны.

Доказательство. 1. Пусть число A является пределом в смысле определения 8. Докажем, что оно является пределом и в смысле определения 8'. Пусть это не так. Это означает, что при некотором e>0 утверждение неверно, т.е. при любом d>0 существует точка M, для которой r(M, M ₀)<d и при этом | f (M)- A |>e. Пусть значения d равны 1,1/2,1/3,...,1/ k,.... Соответствующие точки M обозначим M ^{(1 )} ,..., M ^{( k )},.... Построенная последовательность обладает следующими свойствами:

А) r(M ^{( k )}, M ₀)<1/ k, по определению 6 это означает, что M ^{( k )}® M ₀.

B) | f (M ^{( k )})- A |>e при всех k, т.е. числовая последовательность f (M ^{( k )}) не сходится к A. Противоречие с определением 8.

2. Обычно из пары взаимно обратных утверждений одно доказывается легко, другое трудно. Трудный этап позади. Остался легкий. Пусть число A является пределом в смысле определения 8'. Докажем, что оно является пределом и в смысле определения 8. Возьмем произвольное число e>0 и соответствующее d>0 Пусть { M ⁽¹⁾, M ⁽²⁾,..., M ^{( k )},...} - произвольная последовательность, которая сходится к M ₀ (но M ₀ не содержит). Это означает, что M ^{( k )}Î U _d(M ₀) при достаточно больших k, т.е. | f (M ^{( k )})- A |<e. Из этого следует, что f (M ^{( k )})® A. Теорема доказана.

Разумеется, понятие предела функции нескольких переменных сложнее, нежели одной переменной. Мы лишаемся такой полезной конструкции, как односторонние пределы: на прямой к точке можно подобраться с двух сторон, а на плоскости и в пространстве число таких «сторон» бесконечное! Вычисление пределов функций одной переменной необходимо, в частности, для получения таблицы производных. По счастью, пределы функций нескольких переменных приходится вычислять редко. Иногда удается свести вычисление предела к функции одной переменной.

Легко определить и предел отображения f Rⁿ:® R^m.

Примеры. 1. . Прежде всего, функция определена всюду кроме начала координат. Перейдем к полярным координатам x = r×cos j, = r×sin j. Поскольку r²= x ²+ y ², то при x ®0, y ®0 также и r®0 и наоборот. Поэтому пример принимает вид

В последнем выражении присутствует полярный угол j, он может изменяться как угодно. Важно то, что выражение в скобках по модулю не превосходит 2. А тогда теорема о милиционерах приводит к ответу: предел равен 0.

2. . В этом случае все совсем просто. Функция не определена при | x |=| y |, т.е. в том числе в точках, сколь угодно близких к (0,0). Согласно определению предела, он здесь не существует: достаточно рассмотреть последовательность точек (1,1), (1/2,1/2), (1/3,1/3),...,которая сходится к точке (0,0).

3. . Функция не определена только в точке (0,0). Перейдя к полярным координатам как в первом примере, приведем предел к виду  Здесь функция вообще не зависит от r, т.е. в зависимости от поведения полярного угла предел может меняться - т.е. его не существует. Если сомневаетесь, рассмотрите сходящуюся к началу координат последовательность точек (в полярных координатах) (1,0), (1/2,p/2), (1/3,0), (1/4,p/2),... Последовательность значений функции в этих точках {1,-1,1,-1,...} предела не имеет.

Следует отметить, что в последнем примере при каждом фиксированном значении j (т.е. на луче с вершиной (0,0)) предел существует, но для разных лучей пределы различные. Естественный вопрос: а если бы на всех лучах пределы совпали, можно ли было бы утверждать, что исходный предел существует? Ответ отрицательный. Самостоятельно рассмотрите следующую функцию, определенную на всей плоскости кроме начала координат: f (x, y)=1 при y = x ², f (x, y)=0 при y ¹ x ².

Для пределов функций нескольких переменных справедливы основные теоремы о пределах для функций одной переменной: арифметические операции, теорема о переходе к пределу в неравенствах, теорема «о милиционерах».

Простое свойство . Отсюда следует, что предел многочлена функции нескольких переменных равен значению многочлена в точке, предел дробно рациональной функции равен значению в точке, если функция в этой точке определена.

Можно определить и предел отображения f: Rⁿ ® R^m. В определении 8 ничего менять не надо, а в определении 8' вместо выражения | f (M)- A |<e следует записать f (M)Î U _e(A). Теорема 4 в этом случае справедлива, отличия в доказательстве косметические. Также справедлив аналог теоремы 1, т.е. предел многомерного отображения можно вычислять покоординатно.

 

Вопросы для самопроверки

1. Что такое линейное отображение?

2. Что такое многочлен от нескольких переменных?

3. Что такое дробно рациональная функция?

4. Что такое суперпозиция отображений?

5. Приведите различные определения предела функции.

 

Упражнения

1. Докажите, что суперпозиция линейных отображений отображение линейное.

2. Докажите, что суперпозиция многочленов - многочлен, дробно рациональных функций - дробно рациональная функция.

3. Верно ли, что суперпозиция многочленов второго порядка многочлен второго порядка?

4. Вычислите следующие пределы или докажите, что они не существуют.

- ;

- ;

- .

5. Найдите области определения функций двух переменных и изобразите их на рисунке:

- ;

- ;

- ;

- ;

- .

Какие из этих множеств являются замкнутыми, открытыми, ограниченными?

6. Сформулировать определения пределов