Функция распределения случайной величины.

Определение. Функцией распределения случайной величины  назовем функцию , выражающую для любого  вероятность того, что случайная величина  примет значения, меньше :  (X< x).

Геометрически: функция распределения  – это вероятность попасть случайной величине  левее заданной точки

Пример. Дан ряд распределения случайной величины

                                                                

 

Найти и изобразить графически ее функцию распределения.

Решение.

1. x ≤ 1 F (x) = 0 ( в том числе и для x = 1, так как F(1) = P(X<1))

2. 1 < x ≤ 4 F (x) = P (X = 1) = 0, 4 (в том числе и для x = 4)

3. 4 < x ≤ 5 F (x) = P (X = 1) + P (X = 4) = 0, 5 (в том числе и для x = 5)

4. 5 < x ≤ 7 F(x) = P(X = 1) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0, 5 + 0, 3 = 0,8

5. x > 7 F(x) = P(X = 1) + P(X = 4) + P(X=5) + P(X = 7) = 0,8 + 0,2 =1 

                     

Итак,                                        

  

Заметим, что при переходе слева к точкам разрыва функция F(x) сохраняет свои значения, то есть F(x) – непрерывна слева.

Из графика видно, что F(x) – разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений.

Сумма всех скачков функции распределения равна 1.

 

 

Свойства функции распределения:

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1

2. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция на всей числовой прямой.

3.  lim ,      lim =1

                                              

4. Вероятность попадания случайной величины  в интервал  равна приращению ее функции распределения, то есть  

 

Пример. Функция распределения

Найти

Решение. P (1 ≤ X < 3) =

Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности

Определение. Плотностью вероятности (плотностью распределения или просто плотностью) f(x) непрерывной случайной величины  называют производную ее функции распределения, то есть

График плотности вероятности называют кривой распределения.

                                  

Свойства плотности:

1.  

2. Вероятность попадания случайной величины  в интервал  равна

 3.Функция распределения  выражается через плотность

4.          

                  Геометрическая интерпретация свойств 2 и 3:

Первое свойство означает, что кривая распределения лежит не ниже оси x, а свойство 4 – полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью 0x равна 1.

Для непрерывной случайной величины числовые характеристики имеют вид:

(если интегралы сходятся).

Пример. Функция f(x) задана в виде:

 

Найдите: a) значение постоянной А, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины X;

б) выражение функции распределения F(x);

в) вычислите вероятность того, что случайная величина X примет значения на отрезке ;

г) найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение.

а) Чтобы f(x) была плотностью вероятности некоторой случайной величины X, она должна быть неотрицательной и

Следовательно,

Имеем   тогда                                                                                                                         

б) Если  то

Если X > 1, то

Получаем, что

                                        

в)

г)  

Некоторые законы распределения