Операторный метод расчета переходных процессов.

       Необходимость определения постоянных интегрирования из начальных условий значительно осложняет расчет п.п. классическим методом. Начиная с цепей «второго порядка» более удобным является метод решения линейных дифференциальных уравнений, при котором начальные условия включаются в исходные уравнения. Тогда для нахождения искомых функций не требуется дополнительно определять постоянные интегрирования.

       Такой метод и был применен английским инженером-электриком О.Хевисайдом – операторный метод, который впоследствии был заменен математически более строгим методом – преобразованием Лапласа.

       Идея этого метода заключается в том, что из области функций действительной переменной t решение переносится в область функций комплексной переменной р, где операции принимают более простой вид, а именно:

• 1 этап - вместо интегро-дифференциальных уравнений получают алгебраические уравнения (в области переменной p);
• 2 этап - решаются эти алгебраические уравнения и находятся «изображения» искомых величин;
• 3 этап - найденные «изображения» переводятся вновь в область функции действительной переменной t – находятся «оригиналы» искомых величин.

Этап

На первом этапе составляется операторная схема замещения исходной схемы. Для этого определяется изображения источников энергии и приемников электрической энергии, всякий оригинал имеет единственное изображение и наоборот.

Сокращенно:      .

 

Источники постоянного и синусоидального напряжения.

Пусть  - функция действительного переменного  - оригинал, тогда ее изображение по Лапласу  найдем как интеграл:

Единичная функция

что соответствует включению в момент времени  постоянной э.д.с. равной 1В.

 

Ее изображение      т.е.

Т.о. изображение источника постоянной эдс

 

 

Показательная функция

т.е.

так или, что то же .

И изображение источника синусоидальной эдс

 

Приемники электрической энергии.

Математическим операциям над оригиналом соответствует определенные операции над изображениями и наоборот. Рассмотрим некоторые из них:

Согласно теоремы дифференцирования

т.е. дифференцированию в области изображений соответствует операция умножения изображения функции на р, минус значение функции в момент времени , что применительно к индуктивности даст:  и соответствующая схема.

 

Теорема интегрирования , т.е. деление функции на p, что применительно к ёмкости примет вид:

 

 

Свойство линейности  применительно к резистивному сопротивлению

			I(p)
					r

I(p)r

                                         

	i(t)r