Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тремя цифрами) или тетрадой (четырьмя цифрами). Например,

• 537,1₈=101 011 111, 001₂

• 1A3,F₁₆= 0001 1010 0011, 1111₂

Для перевода целого числа N с основанием q 1 в систему счисления с другим основанием q2 необходимо число N делить на значение q2, записанное в исходной системе счисления и по правилам исходной системы счисления, до тех пор, пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных в символах новой системы и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

Для примера рассмотрим перевод из десятичной системы в двоичную (q=2), восьмеричную (q=8) и шестнадцатеричную (q=16) системы счисления. Воспользуемся изложенным правилом. Тогда для перевода целого десятичного числа N (q =10) в систему счисления с другим основанием q необходимо число N делить на значение q, записанное в десятичной системе, до тех пор, пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q -ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

На рис. 1.1 приводятся три примера перевода чисел из десятичной системы в двоичную (q=2), в восьмеричную (q=8) и шестнадцатеричную (q=16): 75₁₀=1001011_2.

Для перевода правильной десятичной дpоби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить на q, записанное в десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, и т. д., до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q -ичной системе (рис. 1.2). Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q -ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется

q -(k+1) / 2.

 

75₁₀ =113₈; 75₁₀ =4B₁₆

Рис. 1.1 Примеры перевода целого числа из десятичной с.с.

 

Рис. 1.2. Перевод дроби из десятичной с.с. в другие с.с.

Перевод из двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной (или любой другой q -ичной) системы счисления в десятичную.

Перевод в десятичную систему числа Х, записанного в q -ичной системе счисления (q = 2, 8,16…) в виде

X _q = A _n A _{n -1} ... А ₀, А _-1 А _-2... А _{– m},

где A _n, … А ₀, А _-1,... А _{– m}  – символы q-ичной системы, сводится к вычислению значения многочлена по правилам десятичной арифметики:

X₁₀ = А _n * qⁿ + А _n-1 * q^(n-1) +... + А ₀ * q⁰ + А _-1 * q^{^(-1)} + A_-2 * q^(-2) +... +А _-m * q^(-m)