Лабораторная работа № 3. Линеаризация многомерного нелинейного объекта управления в окрестности опорной траектории.

Тема лабораторной работы. Линеаризация многомерного нелинейного объекта управления в окрестности опорной траектории.

Цель лабораторной работы. Получение практических навыков моделирования и анализа многомерных систем управления с использованием математической модели в пространстве состояний, линеаризованной в окрестности опорной траектории.

Задание. Функциональная схема объекта управления изображена на рисунке 1.

			F2
	F1

 

Рис. 1. Объект управления

где: G_вх, G_вых, G₁₂ – расход жидкости на входе, между емкостями и на выходе из системы:

;                     

;     

;

F_j – площадь поперечного сечения j-ой емкости;

h_j – уровень жидкости в емкости j;

v _j – положение j-го крана;

α₁, α₁₂, α₂ – параметры;

H₁, H₂ – напор жидкости на выходе и входе.

Изменение уровней в емкостях описывают нелинейные уравнения состояния анализируемой системы (уравнения материального баланса):

                          (1)

                       (2)

Начальные значения уровней  в емкостях определяют решением уравнений:

                             (3)

                           (4)

при заданных значениях параметров и входных воздействий.

Уровнемер установлен в емкости, номер j которой указан в таблице вариантов задания. Выходной сигнал уровнемера связан с уровнем уравнением наблюдения:

,                                                   (5)

где  - уровень в емкости j, значение которого определяют моделированием на ЭВМ;

.                                                (6)    

Изменение уровней в емкостях осуществляют с помощью 2-х управляющих воздействий

;                            (7)

,                                                                    (8)

где ,  − текущие значения положений кранов с номерами j и i, указанными в варианте задания. Положение третьего крана остается неизменным и равным первоначальному значению.

Параметры уравнений (1)-(8) для разных вариантов задания приведены в таблице 1.

 

Таблица 1. Параметры объекта управления

 

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F 1	1	2	3	1	2	3	4	1	2	3
F2	1	1	1	2	2	2	1	1	1	2
H1	3	4	5	6	7	2	3	4	5	4
H2	0	1	0,5	1	0,5	1	0	0,3	0	0,2
α1	2	2	1	2	1	2	1	2	2	2
α2	2	2	2	1	2	1	2	2	1	1
α12	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
v 1 (0)	0,5	0,3	0,2	0,3	0,5	0,5	0,2	0,5	0,3	0,6
v2(t) =const	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	0,9	0,8	0,7	0,6
v3(0)	0,5	0,3	0,2	0,3	0,5	0,5	0,2	0,5	0,3	0,6
Управляющие воздействия u 1 (t), u 2 (t)	v 1 (t), v 3 (t)	v 1 (t), v2 (t)	v2 (t), v 3 (t)	v 1 (t), v2 (t)	v 1 (t), v 3 (t)	v2 (t), v 3 (t)	v2 (t), v 3 (t)	v 1 (t), v 3 (t)	v 1 (t), v2 (t)	v2 (t), v 3 (t)
Измеряют уровень	h1(t)	h1(t)	h2(t)	h2(t)	h1(t)	h2(t)	h1(t)	h2(t)	h2(t)	h1(t)

 

№ варианта	11	12	13	14	15	16	17
F 1	1	2	3	2	1	3	2
F2	2	1	2	2	2	1	3
H1	6	7	4	5	4	6	3
H2	0	1,5	0,5	1	0	1	0
α1	2	2	1	2	1	2	1
α2	1	2	1	1	2	2	2
α12	1,5	1,5	1,5	1,5	1,5	1,5	1,5
v 1 (0)	0,45	0,3	0,25	0,3	0,6	0,5	0,35
v2(t) =const	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	0,9
v3(0)	0,35	0,3	0,3	0,35	0,5	0,35	0,25
Управляющие воздействия u 1 (t), u 2 (t)	v 1 (t), v 3 (t)	v2 (t), v 3 (t)	v 1 (t), v2 (t)	v 1 (t), v 3 (t)	v2 (t), v 3 (t)	v 1 (t), v 3 (t)	v 1 (t), v2 (t)
Измеряют уровень	h1(t)	h1(t)	h2(t)	h2(t)	h1(t)	h2(t)	h1(t)

 

При выполнении лабораторной работы необходимо:

1. Составить линеаризованную математическую модель ОУ в пространстве состояний. Линеаризацию выполнить в отклонениях от опорной траектории.

В качестве опорной траектории принимают известные состояния ОУ в моменты времени , отстающие от текущего момента времени  на величину шага квантования , где .

Переменными состояния считать отклонения уровней от своих известных значений в момент времени  (квантование времени выполнить с постоянным шагом с.):

; .                              (9)

2. Выполнить анализ управляемости и наблюдаемости объекта управления с помощью полученной линеаризованной модели.

3. Составить разностные модели объекта управления (квантование времени выполнить с постоянным шагом с.) с помощью метода Эйлера.

4. Моделированием на ЭВМ построить графики изменения во времени управляющего воздействия и уровней жидкости в емкостях с использованием нелинейных уравнений состояния (1)-(8).

5. Моделированием на ЭВМ построить графики изменения во времени переменных состояния объекта управления (отклонений уровней от опорной траектории) с использованием уравнений линеаризованной модели ОУ.

6. Определить погрешности определения уровней жидкости в емкостях с помощью линеаризованной модели (решение нелинейных уравнений считать в качестве действительных законов изменения уровней).

7. Составить отчет.

 

Методические указания к выполнению задания

 

Определение начального состояния. Из решения уравнений (4), (5) определим начальные уровни в емкостях:

,                                                                 (10)

где:

; ;

.

2. Составление линеаризованной математической модели ОУ в отклонениях от опороной траектории. Составим новые переменные (отклонения входных воздействий и уровней в емкостях от своих известных значений в моменты времени , ):

; ; ; .

Дифференциальное уравнение (1) представим в следующем виде:

,                                                        (11)

где

.

Разложим правую часть уравнения (11) в ряд Тейлора в окрестности состояния в моменты времени  и оставим в этом разложении только линейные слагаемые. Тогда с учетом равенства (3) получим следующее линеаризованное уравнение:

, (12)

где:

;

;

;

;

 − неконтролируемое возмущающее воздействие, обусловленное погрешностью линеаризации нелинейного дифференциального уравнения (3).

Аналогичным образом нелинейному дифференциальному уравнению (4) соответствует линеаризованное уравнение в отклонениях от опорной траектории:

, (13)

где:

;

;

;

;

.

 − неконтролируемое возмущающее воздействие, обусловленное погрешностью линеаризации нелинейного дифференциального уравнения (4).

В результате уравнения состояния объекта управления в отклонениях от опорной траектории можно представить в следующем виде:

,                                                   (14)

где:

; ; ,

а элементами матриц   и  являются переменные параметры  и , значения которых переопределяют в дискретные моменты времени .

В соответствии с заданием (табл. 1) в процессе управления изменяют положение только кранов, используемых для управления, а остальные клапаны остаются в начальном состоянии. Поэтому в уравнениях (12), (13) и (14) нужно учитывать только коэффициенты , стоящие сомножителями при управляющих воздействиях.

В частности, если для управления используют краны с номерами  и , то ,  и матрицу  нужно формировать так:

.

Уровнемер установлен в емкости с номером . В качестве выходного сигнала  измерительного устройства будем считать отклонение уровня в емкости с номером  от своего значения в момент времени . Тогда уравнение наблюдения примет вид:

,

или в матичной форме:

,                                                                             (15)

где матрица  имеет отличный от нуля элемент  (с номером );  − погрешность измерений.

Таким образом, модель объекта управления в отклонениях от начального состояния включат в себя уравнение состояния (14) и уравнение наблюдения (15).

3. Моделирование переходных процессов. Для этого нужно методом Эйлера составить разностные уравнения состояния объекта управления (14) в моменты времени  в предположении, что погрешность линеаризации :

, ,              (16)

и выполнить решение полученных уравнений с помощью Mathcad в цикле по , где .

4. Анализ управляемости и наблюдаемости ОУ. Анализ управляемости и наблюдаемости нужно выполнить в моменты времени  по соответствующим критериям Калмана с использованием линеаризованной модели объекта управления (14), (15), имеющей две переменные состояния:  и .

Для этого нужно при числе переменных состояния  сформировать в моменты времени  матрицу управляемости

,

матрицу наблюдаемости

и проверить с помощью Mathcad выполнение условий управляемости и наблюдаемости:

; ,

где нужно использовать значения матриц  и , вычисленные в моменты времени , , при моделировании переходных процессов с помощью уравнения (16).