Конечные разности различных порядков.

Пусть - заданная функция. Обозначим через фиксированную величину приращения аргумента (шаг). Тогда выражение

                                                    (1)

называется первой конечной разностью функции .

Конечные разности высших порядков

Например,

Пример. Построить конечные разности для функции:

, считая шаг .

Решение:

,

 

.

, при .

Если  - полином n-ой степени, то

                                                            (*)

где .

Символ  можно рассматривать как оператор, ставящий в соответствие функции  функцию .

Основные свойства оператора :

1)

2)  , где ;

3) .

Имеет место важная формула, которая может быть получена на основе свойств 1-3.

,                                                           (2)

где - производная (непрерывная) на отрезке , .

Из (2) следует.

Переходя к пределу и предполагая, что  непрерывна, получаем

 - формула для приближенного вычисления производных.

 

2) Таблица разностей.

Часто таблицы задаются для системы равноотстоящих точек

.

Конечные разности определяются соотношениями:

в силу свойства 1):

В общем виде можно записать:

                 (1)

где - число сочетаний из n элементов по m.

Например: ,

,

и т.д.

Для вычисления n-ой разности , нужно знать n+1 членов  последовательности.

Конечные разности различных порядков удобно располагать в форме таблиц двух видов:

Горизонтальная таблица разностей.                        Диагональная таблица разностей.

 

…..	…..	…..	…..	…...

 

Пример: Составить горизонтальную таблицу разностей функции

от начального значения , приняв шаг .

Решение: Полагая , , , находим , , .

Отсюда

Т.к. n=3 – степень полинома, то 3-и разности .

Заносим полученные значения в таблицу (горизонтальную).

0	-1	3	8	12
1	2	11	20	12
2	13	31	32	12
3	44	63	44	12
4	107	107	56	12

Исходные данные для заполнения таблицы отмечены ступенчатой ломаной.

Остальные клетки можно заполнить с помощью формул

отсюда:

,

  и т.д.

,

 и т.д.

Постановка задачи интерполирования.

На отрезке  заданы n+1 точки , которые называются узлами интерполяции, и значение некоторой функции  в этих точках

.                                  (1)

Требуется построить интерполирующую функцию F(x), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и , т.е.

                                       (2)

В общем случае, задача имеет бесчисленное множество решений!!!

Задача становится однозначной, если решение искать в заданном классе функций!

Будем искать полином степени не выше n и удовлетворяющий условию (2).

Полученную интерполяционную формулу  используют для вычисления значений  в точках (интервалах), отличных от узлов.

Если - имеет место задача интерполирования (интерполирование “в узком смысле”).

При  решается задача экстраполирования.