Элементы симметрии кристаллов

Изучение кристаллов начинается с рассмотрения их внешней формы. Внешняя форма хорошо сформированных кристаллических многогранников может быть описана с помощью элементов симметрии. Симметричным считается объект, который может быть совмещен сам с собой определенными преобразованиями: поворотами или (и) отражениями в зеркальной плоскости.

Геометрическая симметрия – это закономерная повторяемость равных фигур или равных частей одной и той же фигуры – одинаковых граней, рёбер и углов. Изучение симметрии кристаллов осуществляется следующим образом:

– отражением части кристалла через его центр;

– отражением равных частей кристалла через воображаемую плоскость;

– совмещением равных частей кристалла через вращение вокруг воображаемой оси;

– отражением части кристалла через его центр с последующим поворотом вокруг воображаемой оси этой части на определённый угол.

В соответствии с названными операциями изучения кристаллов различают следующие элементы: центр симметрии, плоскость симметрии, ось симметрии, инверсионная ось симметрии. Элементы симметрии – это вспомогательные геометрические образы (плоскости, прямые линии, точки), с помощью которых обнаруживается симметрия фигур. Рассмотрим элементы симметрии.

Центр симметрии (С) (рис. 3) – это особая точка внутри фигуры – любая прямая, проведенная через эту точку, по обе стороны от неё на равных расстояниях встретит аналогичные точки фигуры. Если по одну сторону от центра располагается вершина фигуры, то и по другую сторону на таком же расстоянии будет находиться аналогичная ей вершина; если по одну сторону от центра располагается центр грани, то и по другую сторону на таком же расстоянии должен располагаться центр аналогичной грани.

Рис. 3. Центр симметрии: С – центр симметрии. На прямой АБ, проведенной через центр, по обе стороны от него на одинаковом расстоянии располагаются одинаковые вершины, на прямой ВГ – центры одинаковых граней.

 

Обязательное условие наличия центра симметрии в кристалле – присутствие в нём попарно параллельных граней (у куба все грани равны и параллельны – центр симметрии есть). Если в кристалле имеется хотя бы одна грань, не имеющая себе равной и параллельной, то в таком кристалле центра симметрии нет. Если каждая грань кристалла имеет себе равную, хотя и обратно расположенную грань, то данный кристалл обладает центром симметрии. Некоторые кристаллы могут не иметь центра симметрии.

Плоскость симметрии (Р) (рис. 4) – плоскость, разделяющая кристалл (фигуру) на две зеркально-равные части (одна относительно другой располагается как предмет и его зеркальное отражение).

Плоскости симметрии в кристалле (фигуре) могут проходить через рёбра (вдоль или поперёк через середину ребра), через вершины кристалла или через середину граней (перпендикулярно граням): вертикально, горизонтально, наклонно. Если плоскостей симметрии в данном кристалле несколько, то перед обозначением плоскости ставится их число, например 3Р (три плоскости симметрии, например, имеет спичечная коробка). Количество плоскостей симметрии в кристаллах может быть от одной до девяти (рис. 5), кроме восьми. Теоретически можно доказать, что восьми и более девяти плоскостей симметрии в кристаллах быть не может. Многие кристаллы вообще не имеют ни одной плоскости симметрии. Плоскости симметрии присутствуют в кристаллах планального, планаксиального, инверсионно-планального видов симметрии, иногда – в кристаллах с центральным видом симметрии.

Рис. 4. Плоскости симметрии: а – в равнобедренном треугольнике плоскость

 симметрии проходит через его вершину и центр противоположной грани;

б – пример прохождения плоскостей симметрии в квадрате; в – пример

прохождения плоскостей симметрии в четырехугольнике; г – пример

прохождения плоскостей симметрии в ромбе

Рис. 5. Девять плоскостей 9Р симметрии куба:

а – три главных; б – шесть диагональных

Ось симметрии (L) (рис. 6) – прямая линия, при повороте вокруг которой фигура занимает то же положение, что и до поворота, т.е. фигура как бы самосовмещается. Оси симметрии проходят через центры граней, середины рёбер или их вершины.

Наименьший угол поворота вокруг оси, при котором фигура совмещается сама с собой, называется элементарным углом поворота оси симметрии – a. Величина элементарного угла поворота определяет порядок оси симметрии n, который равен числу самосовмещений при полном повороте фигуры на 360o (n = 360/a).

Оси симметрии обозначаются буквой L с цифровым индексом, указывающим на порядок оси – Ln. Доказано, что в кристаллах возможны только оси второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Они обозначаются L2, L3, L4, L6. Осей пятого и порядка выше шестого в кристаллах не бывает. Оси третьего L3, четвертого L4 и шестого L6 порядка принято считать осями высшего порядка.

Рис. 6. Оси симметрии 2, 3, 4 и 6-го порядка

Оси второго порядка L 2 в кристалле проходят там, где сходятся две одинаковые грани, через центр ребра или через центр прямоугольной грани (рис. 7).

Рис. 7. Оси второго порядка

У обычного кирпича 3 пары попарно равных и параллельных граней. В кристалле подобной формы можно провести через центры граней 3 оси второго порядка – 3L_2.

Оси третьего порядка L ₃   проходят через вершину, в которой сходятся три одинаковые грани или через центр треугольной грани (равносторонний треугольник) (рис. 8). У тригональной пирамиды 4 грани – равносторонние треугольники. В кристалле подобной формы можно провести через центры граней 3 оси и вершины, в которых сходятся 3 одинаковые грани 4 оси третьего порядка – 4L₃.

Рис. 8. Оси третьего порядка

 

Оси четвёртого порядка L 4 проходят через вершину, в которой сходятся четыре одинаковые грани или через центр квадратной грани.

Оси шестого порядка L 6 проходят через вершину, в которой сходятся шесть одинаковых граней или через центр шестиугольной грани (правильный шестиугольник).

Наибольшее количество осей симметрии характерно для кристаллов кубической сингонии (рис. 9), здесь количество осей симметрии составляет от 7 до 13, причём эти оси принадлежат разным порядкам: второму и третьему, или второму, третьему и четвёртому.

Инверсионная ось симметрии (инверсионно-поворотная, L_i) – прямая линия, при повороте вокруг которой на 360^о с соответствующим переносом-отражением (инверсией) части фигуры через центр кристалла происходит его повторение-совмещение целое число раз. В кристаллах существуют инверсионные оси четвёртого и шестого порядков (L_{i 4}, L_{i 6}). Эти оси соответствуют: оси четвёртого порядка – осям симметрии второго порядка, а инверсионные оси симметрии шестого порядка осям симметрии третьего порядка. Порядок инверсионной оси симметрии определяется так же, как и порядок обычной оси симметрии, но он суммируется из количества обычных и отражённых совмещений.

а) в кубе 6 одинаковых граней в форме квадрата. Через центры попарно параллельных граней можно провести 3 L 4.

б) у куба 8 вершин. L 3 пройдет через две противоположные вершины. Всего в кубе можно провести 4 L 3

в) у куба 6 одинаковых граней, 12 ребер. Через центры попарно параллельных ребер можно провести 6 L 2

Рис. 9. Оси симметрии куба

 

Для определения инверсионной оси фигура поворачивается вокруг оси на 60 или 90^о, и все элементы её (рёбра, вершины, грани) проецируются через центр на противоположную сторону, то есть на 180^о в вертикальной плоскости. Если при этом все элементы нижней части фигуры отразятся через центр в её верхней части, в фигуре присутствует инверсионная ось.

Оси симметрии отсутствуют только в триклинной сингонии и планальном виде симметрии моноклинной сингонии, то есть только три формулы из 32 существующих не имеют осей симметрии. Необходимо помнить следующее:

– L₆ и L_i6 могут присутствовать в кристаллах в единственном числе;

– L₄ и L_i4 могут быть или в единственном числе или в количестве трёх;

– L₃ могут быть или в единственном числе или в количестве четырёх;

– L₂ могут быть или в единственном числе или в количестве 2-х, 3-х, 4-х,

или 6.

Перечень всех элементов симметрии кристалла (рис. 10), записанный в виде их символов, называется формулой симметрии или видом симметрии.

Рис. 10. Повторение грани кристалла элементами симметрии: а – плоскостью (m); б – двойной осью; в – тройной осью; г – четверной осью; д – шестерной осью; е – центром инверсии

 

Строгий математический анализ (Гессель, 1830, Гадолин, 1867) показал, что существует всего 32 формулы симметрии. Это все возможные для кристаллов комбинации элементов симметрии. В зависимости от наличия тех или иных элементов симметрии или их сочетания выделяются следующие виды симметрии:

– Примитивный – элементы симметрии в кристалле либо отсутствуют, либо кристалл характеризуется только наличием осей симметрии;

– Центральный – характеризуется обязательным присутствием центра симметрии и нескольких других элементов симметрии;

– Аксиальный – характеризуется присутствием только осей симметрии разных порядков;

– Планальный – характеризуется обязательным присутствием плоскостей симметрии и отсутствием центра симметрии;

– Плаксиальный – характерно присутстием всех элементов симметрии (оси, плоскости, центр) с максимальным количеством плоскостей и осей симметрии;

    – Инверсионно-примитивный – характеризуется присутствием инверсионно- поворотных осей симметрии в единичном количестве и отсутствием других элементов симметрии;

    – Инверсионно-планальный – характеризуется присутствием наряду с инверсионно-поворотными осями симметрии обычных осей симметрии второго порядка и плоскостей симметрии.

32 вида симметрии объединяются в сингонии. Сингония – группа видов симметрии, обладающая сходными элементами симметрии и имеющая одинаковое расположение кристаллографических осей. Название «сингония» происходит от греческого «син» – «сходно» и «гон» – «угол». Всего различают семь сингоний (рис. 11), которые объединены в три категории (табл. 1):

– Низшая категория объединяет триклинную, моноклинную и ромбическую сингонии. В кристаллах этих сингоний нет осей симметрии выше второго порядка;

– Средняя категория объединяет тригональную, тетрагональную и гексагональную сингонии. Кристаллы этих сингоний имеют только одну ось симметрии высшего порядка (L₃, L₄, L₆);

– Высшая категория – кубическая сингония – объединяет кристаллы, которые обязательно имеют 4L₃. Все направления симметрично-равные. 

 

Рис. 11. Формы примитивных ячеек семи сингоний: а – кубическая,

б – тетрагональная, в – гексагональная и тригональная, г – триклинная,

д – ромбоэдрическая, е – ромбическая, ж – моноклинная

 

Необходимо знать следующие правила:

– в кристаллах низшей категории симметрии нет осей симметрии выше второго порядка L2. Это наименее симметричные кристаллы с ярко выраженной анизотропией свойств;

– в кристаллах средней категории симметрии появляется одна главная ось, порядок которой выше второго L3, L4, L6. У этих кристаллов анизотропия физических свойств гораздо сильнее, чем у кристаллов высшей категории;

– кристаллы высшей категории имеют несколько осей порядка выше, чем 2, в частности четыре оси L3, расположенные как пространственные диагонали куба. Помимо 4L3 в кристаллах кубической сингонии всегда имеются либо 3L4, либо 3L2. Это высокосимметричные кристаллы. Анизотропия свойств в кристаллах высшей категории выражена слабее всего.

 

Таблица 1 – Характерные элементы симметрии

Категория	Сингония	Характерные элементы симметрии
Низшая	Триклинная	Элементы симметрии отсутствуют или есть только один центр симметрии
	Моноклинная	Одна ось симметрии второго порядка (L2) и одна плоскость симметрии
	Ромбическая	Число осей симметрии второго порядка (L2) и плоскостей симметрии равно трем
Средняя	Тригональная	Одна ось симметрии третьего порядка (L3)
	Тетрагональная	Одна ось симметрии четвертого порядка (L4)
	Гексагональная	Одна ось симметрии шестого порядка (L6)
Высшая	Кубическая	Четыре оси симметрии третьего порядка (4L3)

 

Совокупность элементов симметрии кристалла образует его кристаллографическую формулу симметрии, в которой на первом месте записываются оси симметрии, затем плоскости и в конце – центр симметрии. Никаких знаков препинания между ними не ставится. Если многогранник не обладает никакими элементами симметрии, то его формула будет L 1. Оси симметрии записываются последовательно от осей высшего порядка к осям низшего порядка.

Например, куб (гексаэдр) обладает тремя осями 4-го порядка, четырьмя осями 3-го порядка, шестью осями 2-го порядка, девятью плоскостями симметрии и центром симметрии, следовательно, его формула симметрии будет записана как 3L44L36L29PC. А формулой симметрии кристалла в виде кирпичика или спичечной коробки будет 3L23PC. Нередко совершенно разные на вид многогранники имеют одинаковые элементы симметрии и, соответственно, одинаковую формулу симметрии.

В таблице 2 приводится химический состав и сингонии минералов шкалы твердости Мооса.

 

Таблица 2 – Химический состав и сингонии минералов шкалы твердости Мооса

 

Контрольные вопросы

1. Какие преобразования необходимо совершить с кристаллом, чтобы доказать его симметричность?

2. Какие элементы симметрии кристалла вы знаете?

3. Что называется плоскостью симметрии?

4. Каким символом обозначают плоскость симметрии?

5. Какая фигура имеет 9 плоскостей симметрии?

6. Что называется центром симметрии?

7. Какие оси симметрии возможны в кристаллах?

8. Что такое инверсионные оси симметрии? Как определить их порядок?

9. Что называется видом симметрии? Какие виды симметрии вы знаете?

10. Что такое формула симметрии?

11. Сколько существует сингоний и категорий в кристаллографии?

12. Какая сингония относится к высшей категории?

13. Какие виды симметрии содержат центр инверсии?

14. Какие виды симметрии содержат центр инверсии, инверсионные оси, только оси симметрии?