Закон нормального (гауссовского) распределения.

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется нормальным, если её плотность вероятности определяется формулой:

,                                               (1)

где .

График функции f(x) (кривая Гаусса) имеет следующий вид (точка максимума ), причём его максимальная ордината  убывает с возрастанием значения  (кривая «сжимается» к оси OX) и возрастает с убыванием значения  (кривая «растягивается» в положительном направлении оси OY). Изменение значения параметра a (при неизменном значении ) не влияет на форму кривой.

 

 

Нормальное распределение с параметрами  называется нормированным. Функция плотности вероятности для такого распределения имеет вид:

.

Для этой функции составлена таблица её значений для положительных значений x (функция  чётная). График  имеет следующий вид:

Эту кривую называют единичной нормальной кривой. Она играет роль стандарта, т.е. любые собранные в статистических исследованиях данные стремятся преобразовать так, чтобы кривая их распределения была максимально близка к этой стандартной кривой.

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу  равна:

.

Сделаем замену , тогда , получаем:

.                                           (2)

Интеграл  не вычисляется в элементарных функциях, поэтому для вычисления интеграла (2) вводится функция

,                                              (3)

которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Для функции Лапласа составлена таблица её значений для положительных значений x.

Свойства функции Лапласа.

1. .

Доказательство: .

2. Ф(x) – нечётная функция, т.е. Ф(- x)=-Ф(x).

Доказательство:

 (замена t=- z, dt=- dz).

3. Функция Ф( x) монотонно возрастает.

Из формул (2) и (3) следует, что вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала  равна:

.                                         (4)

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 0 и 2. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (-2;3).

. По формуле (4) получаем:

.

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределённой случайной величины X от её математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т.е. найти . По формуле (4) получаем:

.

Таким образом,

.                                           (5)

Пример. Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами . Найти .

Нормальное распределение вероятностей имеет в теории вероятностей большое значение. В частности, закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, близок к нормальному распределению. Этот факт получил название центральной предельной теоремы.