Вынужденные колебания без учета сопротивления движению

 

На невесомую упругую систему (балку) действует возмущающая нагрузка , см. рис. 15.1. Уравнение перемещения груза (15.1) принимает вид

.

Отсюда получаем дифференциальное уравнение движения массы

.             (15.21)

Решение однородного уравнения (полученного из (15.21) при ) получено в (15.2).

Частное решение w (t) ищем в форме собственных функций, т.е. в виде аналогичном (15.3)

.                      (15.22)

Дифференцируем (15.21)

и положим

.                          (15.23)

С учетом (15.23) дифференцируем (15.22) вторично

и подставляем  и  в (15.20)

+ .

Отсюда получаем зависимость

.                   (15.24)

Решая систему уравнений (15.22) и (15.23), получаем:

, .

Отсюда, интегрируя по временной переменной τ, получаем:

, .

Теперь в соответствии с (15.21) находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения (15.20)

= .

Следовательно, с учетом обозначения  в (15.20) находим частное решение на любой вид возмущающей нагрузки

.                        (15.25)

В случае нагрузки, не изменяющейся во времени, т.е. , из (15.25) получаем

.                         (15.26)

Но так как δ_1z есть перемещение точки приложения массы М, от единичной силы, то интеграл  представляет перемещение массы М от статического воздействия заданной нагрузки . Таким образом, уравнение движения груза представляет гармоническую функцию с амплитудой в виде квазистатического прогиба в точке приложения массы

.                                (15.27)

С учетом статического загружения балки грузом Q с перемещением  получаем полное перемещение

.      (15.28)

Здесь k _д – динамический коэффициент перемещения.

В случае сосредоточенной силы Р, когда  динамический коэффициент

.                              (15.29)

 

Пример 15.5.К невесомой консоли с сосредоточенной массой М внезапно прикладывается сила P, рис. 15.8. Найти расчетный изгибающий момент.

Решение. Согласно (15.27) динамическое перемещение массы М .

Единичное перемещение δ_{1 p} можно найти по методу начальных параметров

.

Сила инерции колеблющейся массы .

Суммарный изгибающий момент от груза Q, приложенной силы Р и силы инерции P _и

.

В частном случае, когда a = l, динамическая нагрузка

.                                   (15.30)

 

Ударные нагрузки

 

При ударном приложении нагрузки также возникают колебания. Поэтому расчетные формулы при ударе можно получить на основании вышеизложенных задач на колебания.

Рассмотрим удар неупругой массы М, падающей с некоторой высоты h на упругую невесомую систему с одной сосредоточенной массой М₀. В качестве упругой системы может быть балка, вал или стержень, испытывающие изгиб, кручение или растяжение-сжатие соответственно.           

На рис. 15.8 показана невесомая балка с сосредоточенной массой М₀, на которую падает неупругая масса М со скоростью . В начале совместного движения масс из закона сохранении количества движения находим начальную скорость движения  (η – коэффициент передачи энергии).

От внезапного сообщения системе начальной скорости движения v ₀ возникают собственные колебания с перемещениями , и силой инерции  (см. (15.13)), где f =δ₁₁ Q - квазистатический прогиб в месте приложения массы от груза .

Но в отличие от задачи 3 в п. 15.2 здесь нужно добавить воздействие внезапного приложения груза , вызывающее вынужденные колебания

 с силой инерции , см. (15.30).

Суммарная динамическая нагрузка от удара массы М

,

здесь обозначено .

Для вычисления наибольшего значения динамического коэффициента k _д положим , т.е. , откуда находим:

, , .

Большее значение динамического коэффициента будет при верхних знаках тригонометрических функций

.

С учетом обозначения ξ получаем динамический коэффициент при ударе, на который нужно умножать падающий груз Q, чтобы найти его динамическое воздействие

.                          (15.31)

Итак, балку нужно рассчитывать на статическое загружение грузом  и динамическое воздействие Qk _д, т.е. расчетный изгибающий момент в заделке .

Из (15.31) следует, что минимальный динамический коэффициент k _д =2 будет при внезапном приложении нагрузки, когда h =0.

Уменьшить динамический коэффициент (15.31) можно за счет увеличения квазистатического перемещения f и уменьшения коэффициента передачи энергии η. Для этого нужно уменьшать жесткость системы и увеличивать массу, по которой производится удар.

Например, на невесомую балку (без массы М₀) с высоты  падает масса М. Динамический коэффициент (15.31) при этом будет равен . Если на балке есть масса  (допустим), то коэффициент передачи энергии  и динамический коэффициент окажется равным . А если при этом груз падает на пружину (установленную на массе М₀) с коэффициентом жесткости , то динамический коэффициент будет практически минимальным  (здесь квазистатическое перемещение груза равно ).

Обратим внимание на то, что падающая масса М при ударе обладает энергией , а потенциальная энергия деформации упругой системы

.

Так как коэффициент передачи энергии , то часть энергии ударяющей массы теряется на взаимодействие между массами М и М₀. Эта потерянная энергия равна . В вышеприведенном примере коэффициент потери энергии  и лишь  энергии падающего груза идет на деформацию упругой системы.

Таким образом, если требуется передать энергию на поковку изделия, забивку гвоздя в свободно опирающуюся доску и пр., то под изделие на упругую систему нужно пристраивать по возможности большую массу. Это наковальня у кузнеца, колода у мясника, обух топора у плотника, прибивающего доски к прожилинам забора.