Задача 8. Построить изображение вписанного в окружность квадрата.

Рис.31

Так как C₀A₀ D ₀В₀ (рис.З1,а), то на изображении окружности (рис.31,в) строим два взаимно сопряженных диаметра АС и D В. АВС D – квадрат.

При решении задач на комбинацию с шаром можно использовать изображение, данное на рис.31,с. Построение выполняется в та­кой последовательности: проводят две оси эллипса, находят се­редину хорды EF (точку К), строят вершину С. а затем и осталь­ные вершины квадрата А, В, D.

Задача 9. Построить изображение правильного пятиугольника, вписанного в окружность.

Приближенное построение изображения (рис.32).

Рис.32

 

Так как C₀ L₀  В₀ D ₀, В₀ D ₀ А₀E₀ и (рис.32,а), то на изображении окружности (рис.32,в) проводят произвольный диаметр LC (для наглядности LC наклонен к горизонтали под углом 5° – 10°), строят сопряженный ему диаметр MN, делят ОС на три равные части и через точку К (OK ОС) проводят D В (D В МN); проводят D А  СВ и AЕ В D.

АВС D В – приближенное изображение правильного пятиугольни­ка, вписанного в окружность.

Задача 10. Построить изображение правильного шестиугольника, вписанного в окружность.

Р е ш е н и е (рис.33)

Так как A₀K₀ = K₀О₀ = О₀ L₀= L₀D₀ и F ₀B₀  A ₀D₀, E ₀C₀  A ₀D₀ (pиc.33,а), то на изображении окружности (рис.ЗЗ, в) проводим диаметр АD, близкий к горизонтальному, делим его на 4 равные части, строим диаметр MN, сопряженный АD. а через точна К и L проводим FB, EC MN. АВСDВF – правильный шестиугольник.

Общее указание. При решении задач иногда полезно строить более простые, но достаточно наглядные изображения вписанных в окружность многоугольников. См., например, рис.32,с, 33,с.

 

Рис.33

 

§ 8. Построение изображений многоугольников, описанных около окружности

 

Для построения изображений описанных около окружности многоугольников необходимо твердое знание решения второй основной задачи.

Вторая основная задача. На изображении окружности дана точка К. Построить изображение касательной к окружности в дан­ной точке.

Решение. Проводим диаметр КL и сопряженный ему диа­метр МN (рис.34).

Прямая АВ, проведенная через точку К параллельно MN, есть изображение касательной к окружности.

Замечание. Если дано изображение окружности и точка К вне ее, то построение изображения касательной из данной точки к окружности будем выполнять приближенно с помощью одной линейки (рис.35).

 

 

Рис.34

Рис.35

Задача 11. Построить изображение правильного треугольника, описанного около окружности.

Р е ш е н и е (рис.36).

 

 

 

Так как A ₀ M ₀=M₀D₀=O₀N₀ и B₀C₀ A₀N₀ (рис.36,а), то на изображении окружности (рис.36,в) строим диаметр MN (близ­кий к горизонтальному) и на продолжении его откладываем АМ= MN; строим диаметр EF, сопряженный MN, проводим ВС║EF и из точк и А строим касательные АС и АВ к э лл и псу.

∆ ABC – изображен ие равностороннего треугольника.

При решении з адач целесообразно использовать из ображе н ие  на рис.36,с.

Последовательность о пи сывания равнобедренного треугольника можно проследить по рис. 37, а,  а прямоугольного – по рис. 37,в

(здесь М N и   EF – сопряженные диаметры, а ВС ║ М N и СА ║ EF).

Рис.37

На рис.38, а дано изображение описанного квадрата, на рис. 38,с описана трапеция, на рис.38,в описан ромб (АС и ВD - сопряженные диаметры, АО и ОС – равные отрезки, вершины D и  В получены как точки пересечения касательных АD и СD, АВ и СВ).

Рис.38

Глав а Ш