Билеты по математике 6 класс.

Свойства параллельных прямых

1) Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

              

2) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

 

 

3) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Если a || b и с || b, то a || с

 

4) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

 

 

Определение. Отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Построение параллельных прямых:

1 способ: Если к данной прямой а через 2 точки А и В провести перпендикуляры, то эти перпендикуляры будут параллельны.

2 способ: С помощью угольника и линейки.

       

 

Билет № 5 1. Среднее арифметическое нескольких чисел. Привести примеры 2. Треугольник. Определение, обозначение, элементы треугольника. Виды треугольников. Равносторонний треугольник и его свойства. Сумма углов треугольника.

Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.

Пример 1: Мы имеем два числа: 10 и 12. Найти их среднее арифметическое.

Решение

1) Определим сумму этих чисел: 10+12=22

2) Количество этих чисел равно 2, следовательно, среднее арифметическое этих чисел равно: 22:2=11

Ответ: среднее арифметическое чисел 10 и 12 – это число 11.

Пример 2

Мы имеем пять чисел: 1, 2, 3, 4 и 5. Найти их среднее арифметическое.

Решение

1) Сумма этих чисел равна: 1+2+3+4+5=15.

2) По определению среднее арифметическое – это частное от деления суммы чисел на их количество. Мы имеем пять чисел, поэтому среднее арифметическое равно: 15:5=3

Ответ: среднее арифметическое данных в условии чисел равно 3.

Кроме того, что его постоянно предлагают найти на уроках, нахождение среднего арифметического весьма полезно и в повседневной жизни. Например, предположим, что мы хотим поехать на отдых в Грецию. Для выбора подходящей одежды мы смотрим, какая температуру в этой стране в данный момент. Однако мы не узнаем общей картины погоды. Поэтому необходимо узнать температуру воздуха в Греции, например, за неделю, и найти среднее арифметическое этих температур.

 

2. Геометрические фигуры, которые состоят из трех точек, которые не находятся на одной прямой, называются треугольниками.

Отрезки, соединяющие точки, называются сторонами, а точки – вершинами. Вершины обозначаются большими латинскими буквами, например: A, B, C.

Стороны обозначаются названиями двух точек, из которых они состоят – AB, BC, AC. Пересекаясь, стороны образуют углы. Нижняя сторона считается основанием фигуры.

Треугольники классифицируют по углам и сторонам. Каждый из видов треугольника имеет свои свойства.

Существует три вида треугольников по углам:

· остроугольные;

· прямоугольные;

· тупоугольные.

Все углы остроугольного треугольника острые, то есть градусная мера каждого составляет не более 90⁰.

Прямоугольный треугольник содержит прямой угол. Два других угла всегда будут острыми, так как иначе сумма углов треугольника превысит 180 градусов, а это невозможно. Сторона, которая, находится напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие катетами. Гипотенуза всегда больше катета.

Тупоугольный треугольник содержит тупой угол. То есть угол, величиной больше 90 градусов. Два других угла в таком треугольника будут острыми.

Углы, которые имеет одну общую сторону, называют прилежащими этой стороне. Сумма сторон треугольника называется периметром.

Свойства треугольника:

1. длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух остальных сторон;

2. высота треугольника образует прямой угол со стороной, к которой проведена;

3. площадь треугольника равна половине произведения длины высоты треугольника и длины стороны, к которой проведена высота

Свойства углов треугольника:

1. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°;

2. сумма углов любого треугольника равна 180°;

3. в треугольнике не может быть больше одного прямого или одного тупого угла.

Виды треугольников по сторонам:

· равносторонние;

· равнобедренные;

· разносторонние.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. Все углы такого треугольника равны 60⁰, то есть он всегда является остроугольным.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого только две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья – основанием. Кроме того, углы при основании равнобедренного треугольника равны и всегда являются острыми.

Разносторонним или произвольным треугольником называется треугольник, у которого все длины и все углы не равны между собой.

Если в задаче нет никаких уточнений по поводу фигуры, то принято считать, что речь идет о произвольном треугольнике.

                                        

    разносторонний треугольник               равносторонний треугольник                равнобедренный треугольник

 

Билет № 6 1. Конечные и бесконечные десятичные дроби. Два способа перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь. 2. Треугольник. Определение, обозначение, элементы треугольника. Виды треугольников Равнобедренный треугольник и его свойства. Периметр треугольника.

1. Деление числителя на знаменатель у некоторых дробей продолжается бесконечно. Так как, остаток при делении бесконечно повторяется, то бесконечно повторяется и цифра в частном.

В отличие от десятичных дробей, например 0,024; 0,3125, которые называют конечными десятичными дробями, дроби 0,666…, 0,454545… и подобные им называют бесконечными десятичными периодическими дробями.

При этом повторяющуюся цифру частного (или повторяющуюся группу цифр) называют периодом бесконечной десятичной дроби.

Период записывают один раз и используя круглые скобки.

Пишут	читают
0,666…= 0,(6) 0,454545…= 0,(45) 0,2333…=0,2(3)	Ноль целых, шесть в периоде Ноль целых, сорок пять в периоде Ноль целых, две десятых и три в периоде

 

Дроби 0,(6), 0,(45), 0,2(3) - бесконечные десятичные периодические дроби.

Бесконечные десятичные периодические дроби сравнивают так же, как и конечные десятичные дроби, т.е. поразрядно (слева направо).

Например: 0,(54) >0,(53), так как при равенстве целых и десятых долей у первой дроби число сотых больше чем у второй.

 

2. У геометрической фигуры — треугольника — 3 стороны и 3 вершины. Треугольник получается, если три точки, которые не лежат на одной прямой, соединить отрезками. Сторону, которая лежит напротив угла, называют противолежащей углу, и угол называют противолежащим стороне.

Углы, которые имеет одну общую сторону, называют прилежащими этой стороне. Сумма сторон треугольника называется периметром.

Для названия треугольника используются большие латинские буквы, при этом соблюдается последовательность вершин, но начинать название можно с любой вершины.

В зависимости от величин углов треугольника выделяют:

• остроугольные треугольники (все углы острые)

• прямоугольные треугольники (один угол прямой)

• тупоугольные треугольники (один угол тупой M).

Свойства треугольника:

1. длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух остальных сторон;

2. высота треугольника образует прямой угол со стороной, к которой проведена;

3. площадь треугольника равна половине произведения длины высоты треугольника и длины стороны, к которой проведена высота

Свойства углов треугольника:

1. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°;

2. сумма углов любого треугольника равна 180°;

3. в треугольнике не может быть больше одного прямого или одного тупого угла.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого 2 стороны равны. Их называют боковыми, а третью сторону – основанием треугольника.
Например на рисунке:

 

AB = BC — боковые стороны;
AC — основание равнобедренного треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника:

1. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

2. в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой;

3. в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой;

4. в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Признаки равнобедренного треугольника:

1. если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

2. если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

3. если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

4. если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

 

 

Билет № 7 1. Проценты. Нахождение процентов от числа (правило). Привести примеры. 2. Прямоугольный треугольник, его элементы. Периметр и площадь прямоугольного треугольника.

 

1. Процентом называют одну сотую часть числа. 1%=1:100 или 1%=0,01

Таким образом, p%=p:100, 100%=100:100=1. Это равенство означает, что p% - это то же самое, что и дробь p/100, 

Т.е проценты можно записать дробью. Такую запись мы будем использовать в дальнейшем. 81%=81/100=0,81           2%=2/100=0,02          17%=17/100=0,17

Чтобы найти проценты от данного числа, надо:

1)записать проценты в виде дроби,

Свойства призмы.

1) Основания призмы – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях.

2) Боковые ребра призмы параллельны и равны.

3) Боковые грани призмы – параллелограммы

Виды призм.

Прямая призма.

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. АВСА₁В₁С₁ – прямая призма.

Наклонная призма.

Призма называется наклонной, если ее боковые ребра не перпендикулярны основаниям. КLMК₁L₁M₁ – наклонная призма.

Свойства прямой призмы:

Основания прямой призмы – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях.

Боковые ребра прямой призмы параллельны, равны и перпендикулярны плоскостям оснований (являются высотами). Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.

Правильная призма.

Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

 

 

Билет № 12 1. Пропорция. Обратная пропорциональная зависимость величин. Определение, примеры. 2. Многогранники, их виды. Пирамида, элементы (грани, ребра, вершины).

1. Пропорцией называют равенство двух отношений. Пример,125:25=10:2. Слово пропорция означает соразмерность – определенное соотношение между собой.

Запишем пропорцию в общем виде: а: b= с: d, где а,b,c,d –числа не равные 0.

Пропорция читается так: а относится к b,как c относится к d, или отношение а к b равно отношению c к d. В пропорции а:b= с:d числа а,d называют крайними числами пропорции, а числа b,c- средними членами пропорции. Например, 36кг:42кг=6:7.

В пропорции 1,6:0,8=1,24:0,62 найдем произведение крайних и средних членов. 1,6*0,62=0,992 и 1,24*0,8=0,992 Это свойство называют основным свойством пропорции.

Две величины называются обратно пропорциональными величинами, если при увеличении одной из них в несколько раз другая величина уменьшается во столько же раз, а при уменьшении одной величины в несколько раз другая величина увеличивается во столько же раз.

Обратно пропорциональные величины можно определить и так: две величины называются обратно пропорциональными, если отношение двух любых значений одной из них равно обратному отношению соответствующих значений другой.

2. Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Плоские многоугольники называются гранями многогранника. Ребрами многогранника называются стороны его граней. Вершинами – вершины граней.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону (лежит в одном полупространстве) относительно плоскости каждой его грани.

Слово «пирамида» в геометрию ввели греки, которые, как полагают, заимствовали его у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды в мире. Другая теория выводит этот термин из греческого слова «пирос» (рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы, имевшие форму пирамиды.

Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной.

- многоугольник называется основанием пирамиды;

- треугольники называются боковыми граням,

- ребра пирамиды, не принадлежащие основанию, называются ее боковыми ребрами,

- общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды,

-объединение боковых граней пирамиды называется ее боковой поверхностью.

- перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется

высотой пирамиды.

Рассмотрим рисунок: МАВС – треугольная пирамида, треугольник АВС – основание, точка М – вершина, МА, МВ, МС – боковые ребра пирамиды, МАВ, МАС, МВС – боковые грани пирамиды, МН – высота.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой этой пирамиды. Все апофемы равны друг другу.

 

Билет № 13 1. Пропорция. Пропорциональное деление. Определение, примеры. 2. Круглые тела. Примеры. Цилиндр и его элементы.

1. Пропорция – это равенство двух отношений. Например: 2: 3 = 10: 15

                                              1,6: 0,4 = 8,4: 1,6

Запишем пропорцию в общем виде: a: b = c: d или a/b = с / d

В пропорции числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и с – средними членами пропорции.

В повседневной жизни часто встречаются задачи, при решении которых данные величины надо делить на две и более неравные части в заданных отношениях.

Например. Разделить число 50 на части пропорционально числам 2 и 3.

Решение: Надо найти такие два слагаемых числа 50, которые будут относиться друг к другу так, как 2:3. Первое слагаемое должно содержать 2 части числа, а второе 3, значит, число 50 содержит 5 таких частей (2 + 3 = 5), следовательно, каждая такая часть будет равна:

50: 5 = 10

Число 10 – одна часть. Теперь надо умножить эту часть на числа, пропорционально которым требовалось разделить число 50:

10 · 2 = 20

10 · 3 = 30

Ответ: 2:3 = 20:30

Пропорциональное деление – это деление какой-нибудь величины на пропорциональные части.

Правило. Чтобы разделить число на части пропорционально данным числам, нужно разделить его на сумму этих чисел и полученное частное последовательно умножить на каждое из чисел.

2. Поверхность геометрического тела может состоять не только из многоугольников, получены они могут с использованием круга (окружности). Такие тела называют круглыми телами.

Круглые тела – это прежде всего цилиндр, конус, шар.

Цилиндр – тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси.

Конус – тело, которое получено при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катете как оси.

Шар – тело, полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

 

Поверхность цилиндра состоит из двух оснований (два равных круга) и боковой поверхности, которую еще называют цилиндрической.  

 

Основания цилиндра – это два равных круга, расположенных в параллельных плоскостях.

Отрезок, соединяющий центры оснований, перпендикулярен каждому из них, его называют высотой цилиндра.

 

Билет № 14. 1. Масштаб. План. Практическое применение. 2. Круглые тела. Примеры. Шар и его элементы.

1. На географических картах участки земной поверхности изображаются в уменьшенном виде. Точно так же на планах местности, квартиры или каких-то сооружений истинные их размеры уменьшены в определенном отношении. Например, расстоянию 1 км между двумя городами на местности соответствует отрезок 1 см на карте. Расстоянию 1 м соответствует на плане отрезок длиной 1 см.

Меру уменьшения отрезков на карте и на плане выражают с помощью масштаба.

Отношение длины отрезка на карте (или на плане) к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом.

С помощью масштаба можно решать задачи и выполнять геометрические построения, например, при составлении плана квартиры, участка.

Используя масштаб, можно найти расстояние на местности, зная длину отрезка на карте, соответствующего этому расстоянию на местности и наоборот.

Например, на карте с масштабом 1: 50000 расстояние равно 5 см. Найдите расстояние на местности.

Решение. 5см*50000 = 250000 см =2500 м = 2,5км

Масштаб в биологии

Ученые, работающие с микроорганизмами всегда используют цифровой микроскоп, ведь без него невозможно увидеть то, что скрыто от наших глаз

Масштабы в моделировании

Индустрия производства моделирования в наше время очень развита, поэтому были разработаны общепринятые стандарты для каждого вида моделей.

   Масштаб в фотографии

Фотоаппарат имеет функцию приближения или отдаления фокуса от снимаемого объекта.

На сегодняшний день многие сферы деятельности человека используют масштаб. Изменять величину объекта, или изделия можно абсолютно везде. В этом нам помогают карты, чертежи, фотоаппарат, цифровой микроскоп и другие предметы, увеличивающие или уменьшающие изображение.

2. Поверхность геометрического тела может состоять не только из многоугольников, получены они могут с использованием круга (окружности). Такие тела называют круглыми телами.

Круглые тела – это прежде всего цилиндр, конус, шар.

Цилиндр – тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси.

Конус – тело, которое получено при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катете как оси.

Шар – тело, полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

 

Шар – это геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся на одном расстоянии от центра шара.

 

У шара, так же как и у круга, есть центр, радиус и диаметр.

Радиус шара – это расстояние от центра шара до любой точки на его поверхности.

Диаметр – это отрезок, соединяющий две точки на поверхности шара, проходящий через его центр.

Поверхность шара называется сферой.

 

 

Билет № 15. 1. Координатная прямая. Положительные и отрицательные числа. Противоположные числа. Модуль числа. 2. Круглые тела. Примеры. Конус и его элементы.

1. Координатный луч с положительными числами дополним противоположным ему лучом и нанесем на него такие же деления. Получим координатную прямую.

Направление от 0 в сторону увеличения координат называют положительным направлением координатной прямой.

Чтобы построить координатную прямую, нужно:

1) провести прямую и отметить на ней произвольную точку О, приняв её за начало отсчета;

2) указать положительное направление стрелкой;

3) выбрать единичный отрезок.

Точка O(0) — начало отсчёта. Справа от неё отмечают положительные числа, а слева — отрицательные числа. Стрелочка указывает положительное направление отсчёта на координатной прямой.

Число, которое показывает положение точки на прямой, называют координатой точки.

Точки M(−4) и N(4) одинаково удалены от точки O, но находятся по разные стороны от неё, в противоположных направлениях.

Поэтому числа −4 и 4 называют противоположными.

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называются противоположными числами.

Число 0 считается противоположным самому себе.

 

Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль называют целыми числами.

Целые числа, положительные и отрицательные дробные числа называют рациональными числами.

 

Расстояние от данной точки до точки отсчета называют модулем числа.

Расстояния от точек M и N до 0 равны 4 единичным отрезкам. Число 4 является модулем числа – 4.

 

Модуль положительного числа – это само число.

Модуль отрицательного числа – это число, ему противоположное.

Модуль нуля – это нуль.

Итак, модуль любого числа,  отличного от нуля, всегда число положительно е

Модули противоположных чисел равны.

Пример │- 5│= 5; │- 3,7│= 3,7

2. Поверхность геометрического тела может состоять не только из многоугольников, получены они могут с использованием круга (окружности). Такие тела называют круглыми телами.

Круглые тела – это прежде всего цилиндр, конус, шар.

Цилиндр – тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси.

Конус – тело, которое получено при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катете как оси.

Шар – тело, полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

 

Конусом называют тело, которое состоит из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины) и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.

 

Поверхность конуса состоит из основания (круг) и боковой поверхности (круговой сектор). Так как в основании конуса круг, то он имеет радиус.

 

Высота конуса – это расстояние от вершины конуса до центра основания конуса.

Билет № 16. 1. Сравнение рациональных чисел с помощью координатной прямой. Правило сравнения рациональных чисел. 2. Симметрия относительно точки и прямой. Свойства симметричных фигур. Зеркальная симметрия.

1. Чем правее находится точка на координатном луче, тем большее число она изображает. Точно так же и на координатной прямой: чем правее находится точка, изображающая рациональное число, тем больше это число.

Пример:

Сформулируем правила сравнения рациональных чисел:

1) всякое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа;

2) нуль больше любого отрицательного числа;

3) из двух положительных чисел больше то, модуль которого больше;

4) из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

 

Примеры: 15 >0; - 28< 17; - 19 > - 41

 

2.

 

Построили отрезок A′B′, симметричный отрезку AB. Для этого провели луч AO и от точки О (по другую сторону от точки A) отложили отрезок OA′, равный отрезку AO. Аналогично построили точку B′, симметричную точке B.

Видим, что фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

        Свойства симметричных фигур:

1) две фигуры являются симметричными относительно прямой, если они состоят из попарно симметричных точек;

2) две симметричные фигуры равны.

 

 

Ежедневно мы видим свое отражение в зеркале, то есть мы сталкиваемся с зеркальным отражением. Это еще один вид симметрии фигур, который называют зеркальной симметрией – симметрией относительно плоскости.

 

 

Билет № 17. 1. Правило сложения и вычитания рациональных чисел. Законы сложения и вычитания. Привести примеры. 2. Координатная плоскость. Координаты точек. Построение на координатной плоскости.

1. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно:

1) сложить их модули;

2) перед полученным результатом поставить знак «-»

Таким образом, сумма положительных чисел есть число положительное, а сумма отрицательных чисел – число положительное.

Примеры:     (+23) + (+17) = 23 + 17 = 40       (-15) + (-20) = - (15 + 20) = - 35

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно:

1) вычесть из большего модуля двух чисел меньший;

2) перед полученным результатом поставить знак слагаемого с большим модулем.

Пример: (-8) + (+7) = - (│-8│-│+7│) =- (8 – 7)= - 1

Сумма двух противоположных чисел равна нулю. a + (-a) = 0

Пример: (- 6) + (+6) = 0

Если одно из двух слагаемых равно нулю, то их сумма равна другому слагаемому.  a + 0 = 0 + a = a

 

Сложение рациональных чисел подчиняется переместительному и сочетательному законам.

a + b = b + a                             (-5) + 3 = 3 + (-5) = -2

(a + b) + c = a + (b + c)          (- 12 + 7) + 2= (-12 + 2) + 7 = -10 + 7 = - 3

 

Чтобы вычесть из одного рационального числа другое, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

  a – b = a + (-b)  Например: 12 – 30 = 12 + (-30)= -(30 – 12) = -18

Итак, вычитание рациональных чисел заменяют сложением. Вычитание рациональных чисел возможно всегда, так как для каждого рационального числа имеется ему противоположное.

 

2. Проведем через точку О две взаимно перпендикулярные координатные прямые Ox и Oy. Выберем единичный отрезок. За единичный отрезок на каждой из этих прямых принимают длину одной или двух клеток тетради.

На горизонтальной прямой слева от нуля расположены отрицательные числа, а справа – положительные; на вертикальной прямой положительные числа расположены выше нуля, а отрицательные – ниже нуля. Эти прямые называют системой координат на плоскости, а точку O – началом координат.

Правило раскрытия скобок.

5) если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки, сохранив знаки слагаемых в скобках;

6) если перед скобками стоит знак «-«, то можно  опустить скобки, меняя знаки слагаемых в скобках на противоположные.

 

Например: 5x + (4x – 3) = 5x +4x – 3= 9x – 3

                  8x – (5x – 6) = 8x – 5x + 6 = 3x + 6

2. Геометрические фигуры, которые состоят из трех точек, которые не находятся на одной прямой, называются треугольниками.

Отрезки, соединяющие точки, называются сторонами, а точки – вершинами. Вершины обозначаются большими латинскими буквами, например: A, B, C.

Стороны обозначаются названиями двух точек, из которых они состоят – AB, BC, AC. Пересекаясь, стороны образуют углы. Нижняя сторона считается основанием фигуры.

Треугольники классифицируют по углам и сторонам. Каждый из видов треугольника имеет свои свойства.

Существует три вида треугольников по углам:

· остроугольные;

· прямоугольные;

· тупоугольные.

Все углы остроугольного треугольника острые, то есть градусная мера каждого составляет не более 90⁰.

Прямоугольный треугольник содержит прямой угол. Два других угла всегда будут острыми, так как иначе сумма углов треугольника превысит 180 градусов, а это невозможно. Сторона, которая, находится напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие катетами. Гипотенуза всегда больше катета.

Тупоугольный треугольник содержит тупой угол. То есть угол, величиной больше 90 градусов. Два других угла в таком треугольника будут острыми.

Углы, которые имеет одну общую сторону, называют прилежащими этой стороне. Сумма сторон треугольника называется периметром.

Свойства треугольника:

4. длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух остальных сторон;

5. высота треугольника образует прямой угол со стороной, к которой проведена;

6. площадь треугольника равна половине произведения длины высоты треугольника и длины стороны, к которой проведена высота

Свойства углов треугольника:

4. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°;

5. сумма углов любого треугольника равна 180°;

6. в треугольнике не может быть больше одного прямого или одного тупого угла.

Виды треугольников по сторонам:

· равносторонние;

· равнобедренные;

· разносторонние.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. Все углы такого треугольника равны 60⁰, то есть он всегда является остроугольным.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого только две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья – основанием. Кроме того, углы при основании равнобедренного треугольника равны и всегда являются острыми.

Разносторонним или произвольным треугольником называется треугольник, у которого все длины и все углы не равны между собой.

Если в задаче нет никаких уточнений по поводу фигуры, то принято считать, что речь идет о произвольном треугольнике.

                                        

    разносторонний треугольник               равносторонний треугольник                равнобедренный треугольник

Билет № 22. 1. Уравнение и его корни. Определение. Правило решения уравнений с одним неизвестным. Алгоритм решения задач с помощью уравнений 2. Прямая. Свойство прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости.

1. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное какой-либо буквой, называют уравнением.

Число, которое обращает уравнение в верное равенство, называют корнем уравнения.

Пример:   4x – 5 = 25 Это уравнение содержит одно неизвестное число, обозначенное буквой x. Такое равенство называют уравнением с одним неизвестным.

Уравнение может иметь один корень, не иметь корней или иметь бесконечно много корней. Например: 1) уравнение x – 10 = 5 имеет единственный корень x = 15 2)уравнение x – 4 = x – 7 не имеет корней

3) уравнение 2x +7 = 7 + 2x имеет бесконечно много корней.

Билеты по математике 6 класс.

Билет № 1 1. Десятичная дробь. Запись, чтение. Сравнение десятичных дробей. Обращение обыкновенной дроби в десятичную и наоборот. Привести примеры. 2. Прямая. Свойство прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости.

1. Любое число, знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями, можно представить в виде десятичной дроби. То есть десятичная дробь – это дробь, записанная в десятичной нумерации.

Десятичная дробь отличается от обыкновенной дроби тем, что знаменатель у нее — это разрядная единица.

Если к десятичной дроби приписать справа какое угодно число нулей, получится равная ей дробь. Если же в дробной части десятичной дроби имеются справа нули, то их можно отбросить – получится дробь, равная данной.

Сравнение десятичных дробей проводится поразрядно, как и сравнение натуральных чисел.

Чтобы сравнить две десятичные дроби, надо сначала уравнять у них число десятичных знаков, приписав к одной из них справа нули, а потом, отбросив запятую, сравнить получившиеся натуральные числа.

1. Две десятичные дроби равны, если в одних и тех же разрядах целой и дробной частей стоят одинаковые цифры.

2. Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше.

3. Если целые части десятичных дробей равны, то больше та дробь, у которой число десятых долей больше, при равенстве десятых – больше число сотых долей и т.д. 

При переводе десятичной дроби в обыкновенную в числителе дроби записывают число, стоящее после запятой, а разрядная единица в знаменателе (10, 100, 1000 и т. д.) содержит столько же нулей, сколько знаков после запятой в десятичной дроби.

0,17=17/100;

0,231=231/1000;

0,0007=7/10000.

К дробной части десятичной дроби справа можно дописывать любое количество нулей, это величину дроби не изменяет.

Чтение целой части десятичной дроби такое же, как и натуральных чисел. После целой части десятичной дроби произносится слово «целых».

Например:10.7 — десять целых семь десятых;          0,67 — ноль целых шестьдесят семь сотых.

Десятичные знаки — это цифры дробной части. Дробная часть читается не по разрядам (в отличие от натуральных чисел), а целиком, поэтому дробная часть десятичной дроби определяется последним справа значащим разрядом. Разрядная система дробной части десятичной дроби несколько иная, чем у натуральных чисел.

· 1-й разряд после запятой — разряд десятых

· 2-й разряд после запятой — разряд сотых и т.д.

Перевод десятичной дроби в смешанное число состоит в следующем: число, стоящее до запятой записать целой частью смешанного числа; число, стоящее после запятой — числителем ее дробной части, а в знаменателе дробной части записать единицу со столькими нулями, сколько цифр стоит после запятой.

Например:

1 способ: Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь — это вычисление частного от деления числителя дроби на знаменатель по правилам действий с десятичными дробями:

2 способ: Перевести обыкновенную дробь в десятичную можно, разделив числитель обыкновенной дроби на знаменатель.

Но не все обыкновенные дроби можно перевести в десятичную дробь. Например: — нет такого множителя, который с множителем 3 даст в произведении разрядную единицу.

 

2. Прямая – очень важная геометрическая фигура. Прямая - это множество точек на плоскости, которое представляет собой бесконечную прямую линию без начала и конца. Прямые обозначаются одной строчной буквой или двумя заглавными. Двумя заглавными латинскими буквами в том случае, если этими буквами обозначены точки, расположенные на прямой. Саму прямую неограниченно продолжа