Основные элементарные функции. Элементарные функции

Основные элементарные функции

Основными элементарными функциями называются следующие:

y = x a   (

a   - любое действительное число) - степенная функция. При различных a   графики этой функции будут различны, на рис. 8 приведены графики степенной функции при некоторых значениях показателя a  .

 

 

Функция

 

y = a x

 

(a > 0, a ¹ 1)

Рис. 8

- показательная функция, ее графики

приведены на рис. 9. Мы видим, что при

a >1

функция

y = a x

является

возрастающей, а при 0 < a < 1 - убывающей;

 

 

 

Функция

 

 

y = loga  x

 

(a > 0, a ¹ 1)

Рис. 9

- логарифмическая функция, ее графики

при различных значениях  основания   a приведены на рис. 10. При a >1

логарифмическая функция возрастает, при 0 < a < 1 - убывает (рис.10).

 

Рис. 10

Далее следуют тригонометрические функции

y = sin x,

 

y = cos x,

y = tg x, y = ctg x, их графики приведены, соответственно, на рис. 11, 12, 13, 14.

Функция

y = sin x, ограниченная (sin x

£ 1), нечетная функция с периодом

l = 2 p

(рис. 11).

 

 

Рис. 11

Функция

y = cos x, ограниченная (

cos x

£ 1), четная функция с периодом

l = 2 p

(рис. 12).

 

 

 

Функция

Рис. 12

y = tg x, периодическая функция с периодом

 

l = p

 

(рис. 13).

 

 

Функция

Рис. 13

y = ctg x, периодическая функция с периодом

 

l = p

 

(рис. 14).

 

 

Рис. 14

Обратные тригонометрические функции

y = arcctg x

 

y = arcsin x,

 

y = arccos x,

 

y = arctg x,

Функция

y = arcsin x. Область определения этой функции отрезок [-1;1],

множество значений – отрезок

é- p  ; p   ù . Ее график приведен на рис. 15.

ëê          2 2 úû

Рис. 15

Функция y = arccos x. Область определения функции y = arccos x - отрезок

[-1, 1], множество значений – отрезок [0, p ]. График этой функции приведен на рис. 16.

Рис. 16

Функция y = arctg x. Область определения этой функции вся числовая ось

(- ¥; + ¥), множество значений – открытый интервал

æ- p  ; p   ö , график

 

функции

 

y = arctg x

ç       ÷

2

2

è       ø

приведен на рис. 17.

Рис. 17

Функция y = arcctg x. Область определения этой функции вся числовая  ось

(- ¥; + ¥), множество значений – открытый интервал (0; p), график функции

y = arcctg x приведен на рис. 18.

Рис. 18

Элементарные функции

Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и конечного числа операций взятия функции от функции, называются элементарными.

 

Всякая элементарная функция может быть задана одной формулой на всей области своего определения. Например,

y =  log ₂ (cos   2 x   + 1)

3 x ² + x

 

, y =

sin ³ æ  x ö - 5 × 2^{- x} 2

ç 2 ÷

è ø        .

 

По сути дела, любая функция, закон соответствия которой задан одной формулой, является для нас элементарной, пока мы не овладеем другими знаками записи формул, кроме знаков арифметически операций и символов, которыми обозначаются основные элементарные функции.

 

Предел функции. Понятие о сходимости числовой

Последовательности.

Предел переменной величины.

Из разнообразных способов поведения переменных величин наиболее важен такой, при котором переменная величина стремится к некоторому пределу. В этом случае значения, принимаемые переменной величиной y, становятся сколь угодно близкими к некоторому постоянному числу a - пределу этой переменной величины.

Определение предела имеет простой геометрический смысл: неравенство

y - a < e означает, что y находится в e - окрестности точки a, то есть  в

интервале (a - e, a + e)

(рис. 19). Таким образом, можно дать определение

предела переменной величины в геометрической форме.

Число a называется пределом переменной величины y, если для любой (сколь угодно малой) e   - окрестности точки a можно указать такой момент в изменении переменной y, начиная с которого все ее значения попадают в e   - окрестности точки a (рис. 19 и 20).

 

 

 

Рис. 19

Рис. 20

 

Записывается это следующим образом

a = lim y

(lim - первые буквы слова

limes - предел) или y ® a.

Процесс приближения к пределу необходимо понимать в динамике: взяли некоторую   e - окрестность точки a, начиная с некоторого момента  все

значения переменной   y   попадают в эту окрестность; теперь возьмем e ₁ <  e  ,

начиная с некоторого (более отдаленного) момента все значения переменной

y попадают в e ₁

т.д. (рис. 20).

- окрестность (меньшую по сравнению с первой) точки a и

Однако, в определении предела осталась нерасшифрованной весьма существенная фраза: «начиная с некоторого момента в процессе изменения переменной величины y».

 

 

2.1.2. Предел функции.

Предел функции при

x ® ¥ .

Пусть функция y = f (x) задана на интервале (p; + ¥).

Определение. Число a называется пределом функции

f (x)

При

x ® +¥,

если для любого сколь угодно малого положительного числа   e        найдется

такое число N, зависящее от e (N = N (e)), что для всех x > N   выполняется

неравенство f (x)- a < e.

Здесь переменная, стремящаяся к пределу, это функция

f (x); оставшаяся

нерасшифрованной в общем определении предела переменной фраза

«начиная с некоторого момента» в этом случае расшифровывается как «для всех x, больших некоторого N».

Применяемое в этом случае обозначение предела таково:

lim

x ®+¥

f (x) = a.

Геометрически тот факт, что

a = lim

x ®+¥

f (x)

означает следующее (рис. 21).

Возьмем произвольное

e > 0

и на оси ординат, на которой откладываются

значения функции при построении графика, построим e - окрестность точки

a; через концы  интервала (a - e, a + e) проведем горизонтальные прямые

y = a - e и y = a + e. Между этими прямыми образуется полоса,  которую

называют   e - полосой вокруг прямой y = a. Смотрим, когда границы   e    -

полосы при движении вправо в последний раз пересекут график функции, эту

точку спроектируем на ось абсцисс и получим искомое N. При всех x > N

график функции расположен внутри e - полосы (при этом f (x)- a < e).

 

Рис. 21

Аналогично тому, как был определен

 

lim

x ®+¥

 

f (x), определяются пределы

lim

x ®-¥

f (x) и

lim

x ®¥

f (x). В последнем случае предполагается, что

x ® +¥ и

x ® -¥ .

 

 

2.1.2. Предел функции.

Предел функции при

x ® x 0

(предел функции в точке).

Дадим определение предела функции при x стремящемся к конечному

значению x 0. Будем считать, что функция y = f (x) определена во всех точках

некоторого интервала (a, b), содержащего  точку   x 0, кроме, быть  может,

самой точки

x 0.

Если при неограниченном приближении точки x к точке x 0  значения

функции f (x) неограниченно приближаются к некоторому  числу a,  то

говорят, что число a является пределом функции f (x) при x стремящемся

к x 0  (x ® x 0 ).  В  этом  случае  слова  «начиная  с  некоторого  момента…»,

содержащиеся  в  общем  определении  предела  переменной расшифровываются следующим образом: для всех значений x достаточно

близких к

x 0 или, еще более точно, для всех точек x из некоторой достаточно

малой окрестности точки

x 0   (эту окрестность обычно называют d -

окрестностью (дельта-окрестностью) точки

x 0). Итак:

Определение. Число a называется пределом функции

f (x)

При

x ® x 0

(или в точке

x 0), если для любого сколь угодно малого положительного числа

e   существует такое положительное число d, зависящее от e  , что для всех

точек x из d - окрестности точки

x 0, исключая быть может саму точку

x 0 (то

есть  для  всех x, для которых выполняется неравенство

0 < x - x 0

< d),

выполняется неравенство

f (x)- a

< e.

Геометрический смысл определения предела функции в точке x 0

представлен на рис. 22.

Рис. 22

Опять отметим e   -окрестность точки a на оси OY (оси  значений функций)

и проведем   e - полосу вокруг  прямой y = a; отметим точки  пересечения

прямых

y = a + e и

y = a - e

с графиком функции

f (x), спроектируем эти точки

на ось абсцисс и получим граничные точки d - окрестности точки x 0. Видим,

что как только x попадает в d - окрестность точки x 0, значение функции

y = f (x) попадает в e -окрестность точки a.

Еще раз подчеркнем, что f (x) может и не быть определенной в точке   x 0,

но даже если она в этой точке определена, то значение   f (x 0 )  в определении

предела не участвует; важны лишь значения f (x) при значениях  аргумента,

близких к

x 0. Поэтому не следует считать, что

lim

x ® x 0

f (x)

обязан совпадать с

f (x 0 ) (хотя, конечно, в большинстве случаев это так).

 

 

2.1.2. Предел функции.